【位运算】二进制枚举入门

一、Problem

有 5 种硬币，他们面值分别为：1，2， 3， 4， 5，请列出所有面值组合。比如如果选出面值为 1、3、4 的硬币，则输出 1 3 4

二、Solution

方法一：位运算

这似乎就是在有 N 个元素的集合里求不同的子集，而又有

• 含有 0 个元素的子集有 $C_N^0$ 个，
• 含有 1 个元素的子集有 $C_N^1$ 个，
• 含有 2 个元素的子集有 $C_N^2$ 个，
  …

又二项式定理得： $C_N^0$ + $C_N^1$ + $C_N^2$ + … + $C_N^N$ = $2^N$，也就是说不同的子集的个数为 $2^N$ 个。

回到题目中，不妨用二进制位 1 来表示集合 set 中被选中的元素，0 表示集合 set 中没被选中的元素，那么我选 1 3 4 这三个面值则应为：

set	1	2	3	4	5
二进制	1	0	1	1	0
面值状态	√	×	√	√	×

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		void binary_enum(int n) {
			int tot = 1 << n;
			for (int i = 0; i < tot; i++) {
				for (int j = 0; j < n; j++) {
					if ((i & (1 << j)) > 0)
						System.out.printf("%d ", j);
				}
				System.out.println();
			}
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			int n = sc.nextInt();
			binary_enum(n);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(2^N × N)$，
• 空间复杂度： $O(1)$，