二分法基础

【二分查找】

问题：如何在一个严格递增序列 $A[\ ]$ 中找出给定的数 $x$。

//A[]为严格递增序列，left为二分下界，right为二分上界，x为欲查询的数 

//二分区间为左闭右闭的[left,right]，传入的初值为[0,n-1]

int binarySearch(int A[], int left, int right, int x)
{
	int mid;	//mid为left和right的中点
	while(left <= right)	//如果left>right就没办法形成闭区间了
	{
		mid = (left + right) / 2; 		//取中点
		if(A[mid]==x)
			return mid;  		//找到x，返回下标
		else if(A[mid] > x)	//中间的数大于x 
			right = mid - 1;  	//往左子区间[left,mid-1]查找
		else				//中间的数小于x
			left = mid + 1; 	//往右子区间[mid+1,right]查找
	}
	return -1; //查找失败，返回-1
}

注意中间值mid：

中间值写成 $mid = left+(right-left)/2$ 或者 $mid = (left+right)>>1$ 都行。不过， 如果 $left+right$ 很大， 可能溢出， 用前一种更好。不能写成 $mid = (left+right)/2$，在有负数的情况下，会出错。

【求序列中第一个大于等于x的元素的位置】

问题：如果递增序列 $A[\ ]$ 中的元素可能重复，那么如何对给定的欲查询元素 $x$，求出序列中第一个大于等于 $x$ 的元素的位置 $L$ 以及第一个大于 $x$ 的元素的位置 $R$，这样元素 $x$ 在序列中的存在区间就是左闭右开区间 $[L, R)$。

//A[]为递增序列，x为欲查询的数，函数返回第一个大于等于x的元素的位置 

//二分上下界为左闭右闭的[left, right]，传入的初值为[0,n]

int lower_bound(int A[], int left, int right, int x)
{
	int mid;	//mid为left和right的中点
	while(left<right)	//对[left,right]来说，left==right意味着找到唯一位置 
	{
		mid = left+(right-left)/2;	//取中点 
		if(A[mid] >= x)		//中间的数大于等于x 
			right = mid;		//往左子区间[left,mid]查找 
		else				//中间的数小于x 
			left = mid + 1;		//往右子区间[mid+1,right]查找 
	}
	return left;	//返回夹出来的位置 
}

注意：

1. 循环条件为 $left<right$， 而非之前的 $left ≤ right$，这是由问题本身决定的。
2. 由于当 $left==right$ 时while循环停止，因此最后的返回值既可以是 $left$，也可以是 $right$。
3. 二分的初始区间应当能覆盖到所有可能返回的结果，故二分的初始区间为 $[left, right] = [0, n]$

【求序列中第一个大于x的元素的位置】

//A[]为递增序列，x为欲查询的数，函数返回第一个大于x的元素的位置
 
//二分上下界为左闭右闭的[left,right]，传入的初值为[0,n]

int upper_bound(int A[], int left, int right, int x)
{
	int mid;	//mid为left和right的中点
	while(left < right)	//对[left,right]来说，left==right意味着找到唯一位置 
	{
		mid = left+(right-left)/2;	//取中点 
		if(A[mid] > x)		//中间的数大于x 
			right = mid;		//往左子区间[left,mid]查找 
		else	   			//中间的数小于x 
			left = mid + 1;		//往右子区间[mid+1,right]查找 
	}
	return left;	//返回夹出来的位置 
}

和 $lower\_bound$ 函数的代码相比， $upper\_bound$ 函数只是把代码中的 $A[mid] ≥ x$ 改成了 $A[mid] > x$，其他完全相同。

【模板】

解决 “寻找有序序列第一个满足某条件的元素的位置” 问题的固定模板。

1、二分区间为左闭右闭的 $[left, right]$，初值必须能覆盖解的所有可能取值。

所谓的“某条件”在序列中一定是从左到右先不满足，然后满足的（否则把该条件取反即可）。

int solve(int left, int right)
{
	int mid;	//mid为left和right的中点
	while(left<right)	//对[left,right]来说，left==right意味着找到唯一位置 
	{
		mid = left+(right-left)/2;	//取中点 
		if(条件成立)		//条件成立，第一个满足条件的元素的位置<=mid 
			right = mid;		//往左子区间[left,mid]查找 
		else	   			//条件不成立，则第一个满足该条件的元素的位置>mid 
			left = mid + 1;		//往右子区间[mid+1,right]查找 
	}
	return left;	//返回夹出来的位置 
}

如果想要寻找最后一个满足“条件C”的元素的位置，则可以先求第一个满足“条件!C”的元素的位置，然后将该位置减 $1$ 即可。

2、使用左开右闭的写法也可以，并且与左闭右闭的写法等价。

//二分区间为左开右闭的(left,right]
//初值必须能覆盖解的所有可能取值, 并且left比最小取值小1
//例如对下标从0开始的序列来说，left和right的取值应为-1和n

int solve(int left, int right)
{
	int mid;	//mid为left和right的中点
	while(left + 1 < right)	//对(left,right]来说，left+1==right意味着找到唯一位置 
	{
		mid = left+(right-left)/2;	//取中点 
		if(条件成立)		//条件成立，第一个满足条件的元素的位置<=mid 
			right = mid;		//往左子区间[left,mid]查找 
		else	   //条件不成立，则第一个满足该条件的元素的位置>mid 
			left = mid;		//往右子区间[mid,right]查找 
	}		//改为left = mid，并且返回的应当是right而不是left
	return right;
}

【STL中的lower_bound()和upper_bound()】

前面扯了那么多，总结起来就是，如果只是简单地找 $x$ 或 $x$ 附近的数， 就用 STL 的 $lower\_bound()$ 和 $upper\_bound()$ 函数。

$lower\_bound()$和 $upper\_bound()$ 都是利用二分查找的方法在一个排好序的数组中进行查找的。

在从小到大的排序数组中，

1. $lower\_bound(begin,\ end,\ num)$：从数组的 $begin$ 位置到 $end-1$ 位置二分查找第一个大于或等于 $num$ 的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回 $end$。通过返回的地址减去起始地址 $begin$，得到找到数字在数组中的下标。

2. $upper\_bound(begin,\ end,\ num)$：从数组的 $begin$ 位置到 $end-1$ 位置二分查找第一个大于 $num$ 的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回 $end$。通过返回的地址减去起始地址 $begin$，得到找到数字在数组中的下标。

在从大到小的排序数组中，重载 $lower\_bound()$ 和 $upper\_bound()$

1. $lower\_bound(begin,\ end,\ num,\ greater() )$：从数组的 $begin$ 位置到 $end-1$ 位置二分查找第一个小于或等于 $num$ 的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回 $end$。通过返回的地址减去起始地址 $begin$，得到找到数字在数组中的下标。

2. $upper\_bound(begin,\ end,\ num,\ greater() )$：从数组的 $begin$ 位置到 $end-1$ 位置二分查找第一个小于 $num$ 的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回 $end$。通过返回的地址减去起始地址 $begin$，得到找到数字在数组中的下标。