Minimizing Maximizer（POJ No.1769）

Minimizing Maximizer（POJ No.1769）

Maximizer是一个接受 $n$ 个数作为输入，并输出它们的最大值的装置。这个装置由 $m$ 个叫做Sorter的装置依次连接而成。第 $k$ 个Sorter把第 $k-1$ 个Sorter的输出作为输入，然后将第 $s_k$ 到第 $t_k$ 个值进行排序后，保持其余部分不变输出。Maximizer的输入就是第一个Sorter的输入，最后一个Sorter的输出就是Maximizer的输出。从组成Maximizer的Sorter中去掉几个之后，Maximizer有可能还可以正常工作。现在给定Sorter的序列，求其中的最短的一个子序列（可以不连续）使得Maximizer仍然可以正常工作。
$（2\leq n \leq 50000,1 \leq m \leq 500000,1 \leq s_k < t_k \leq n）$

输入

n = 40
m = 6

输出

4

题解

首先考虑一下在什么样的情况下可以正常工作。假设输入的第 $i$ 个数是应该输出的最大值。此时，在第一个满足 $s_k \leq t_k \leq t_{k'}$ 的Sorter的输出中，这个值被移动到了第 $t_k$个位置。

接下去，在第一个满足 $s_{k'} \leq t_k \leq t_{k'}$ 的Sorter的输出中，这个值又被移动到第 $t_{k'}$ 个。不断重复这样的操作，如果最后可以被移动到第 $n$ 个，那么就表示Maximizer可以正常工作。

因为只要对i=1的情况可以正常工作，那么对于任意的 $i$都可以正常工作。我们不妨假设输入的第一个数是应该输出的最大值

定义 $dp[i][j]$ 表示到第 $i$ 个Sorter位置，最大值被移动到第 $j$ 个位置所需要的最短的子序列的长度（ $INF$表示不存在这样的序列）

$dp[0][1] = 0\\ dp[0][j]=INF(j>1)\\ dp[i+1][j] \begin{cases} dp[i][j](t \neq j)\\ min(dp[i][j], min\{dp[i][j']|s_i \leq j' \leq t_i\}+1)(t_i=j) \end{cases}$

由于这个 $DP$ 的复杂度是 $O(nm)$ 的，仍然无法在规定时间内求出答案。但是对于 $t_i \neq j时有dp[i+1][j]=dp[i][j]$ 。如果我我们使用同一个数组不断对自己更新又会怎样呢？

定义 $dp[j]$ 表示最大值被移动到第 $j$ 个位置所需要的最短的子序列的长度（ $INF$ 表示不存在这样的序列）

进行一下初始化： $dp[1]=0,dp[j]=INF(j>1)$
对于每个 $i$，这样更新：
$dp[t_i]=min(dp[t_i],min\{dp[j']|s_i \leq j' \leq t_i\}+1)$

这样，对于每一个 $i$ 都只需要更新一个值就可以了。但是可能会认为求解最小值时，最坏的情况下仍然要 $O(n)$ 的时间，最后复杂度还是 $O(nm)$ 。不过，如果使用之前介绍的线段树来维护，就可以在 $O(m\ log\ n)$ 的时间内求解了。