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题目描述
这是 LeetCode 上的 786. 第 K 个最小的素数分数 ,难度为 困难。
Tag : 「优先队列」、「多路归并」、「二分」、「双指针」
给你一个按递增顺序排序的数组 arr
和一个整数 k
。
数组 arr
由
和若干 素数 组成,且其中所有整数互不相同。
对于每对满足 的 和 ,可以得到分数 。
那么第 个最小的分数是多少呢? 以长度为 的整数数组返回你的答案, 这里 且 。
示例 1:
输入:arr = [1,2,3,5], k = 3
输出:[2,5]
解释:已构造好的分数,排序后如下所示:
1/5, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3
很明显第三个最小的分数是 2/5
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示例 2:
输入:arr = [1,7], k = 1
输出:[1,7]
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提示:
- 是一个 素数 ,
- 中的所有数字 互不相同 ,且按严格递增排序
优先队列(堆)
数据范围只有 ,直接扫描所有点对的计算量不超过 。
因此我们可以使用「扫描点对」+「优先队列(堆)」的做法,使用二元组 进行存储,构建大小为 的大根堆。
根据「堆内元素多少」和「当前计算值与堆顶元素的大小关系」决定入堆行为:
- 若堆内元素不足 个,直接将当前二元组进行入堆;
- 若堆内元素已达
个,根据「当前计算值
与堆顶元素
的大小关系」进行分情况讨论:
- 如果当前计算值比堆顶元素大,那么当前元素不可能是第 小的值,直接丢弃;
- 如果当前计算值比堆顶元素小,那么堆顶元素不可能是第 小的值,使用当前计算值置换掉堆顶元素。
代码:
class Solution {
public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] arr, int k) {
int n = arr.length;
PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->Double.compare(b[0]*1.0/b[1],a[0]*1.0/a[1]));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
double t = arr[i] * 1.0 / arr[j];
if (q.size() < k || q.peek()[0] * 1.0 / q.peek()[1] > t) {
if (q.size() == k) q.poll();
q.add(new int[]{arr[i], arr[j]});
}
}
}
return q.poll();
}
}
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- 时间复杂度:扫描所有的点对复杂度为 ;将二元组入堆和出堆的复杂度为 。整体复杂度为
- 空间复杂度:
多路归并
在解法一中,我们没有利用「数组内元素严格单调递增」的特性。
由于题目规定所有的点对 必须满足 ,即给定 后,其所能构建的分数个数为 个,而这 个分数值满足严格单调递增: 。
问题等价于我们从 个(下标 作为分母的话,不存在任何分数)有序序列中找到第 小的数值。这 个序列分别为:
- ...
问题彻底切换为「多路归并」问题,我们使用「优先队列(堆)」来维护多个有序序列的当前头部的最小值即可。
代码:
class Solution {
public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] arr, int k) {
int n = arr.length;
PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->{
double i1 = arr[a[0]] * 1.0 / arr[a[1]], i2 = arr[b[0]] * 1.0 / arr[b[1]];
return Double.compare(i1, i2);
});
for (int i = 1; i < n; i++) q.add(new int[]{0, i});
while (k-- > 1) {
int[] poll = q.poll();
int i = poll[0], j = poll[1];
if (i + 1 < j) q.add(new int[]{i + 1, j});
}
int[] poll = q.poll();
return new int[]{arr[poll[0]], arr[poll[1]]};
}
}
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- 时间复杂度:起始将 个序列的头部元素放入堆中,复杂度为 ;然后重复 次操作得到第 小的值,复杂度为 。整体复杂度为
- 空间复杂度:
二分 + 双指针
进一步,利用 递增,且每个点对 满足 ,我们可以确定 对应的分数 必然落在 范围内。
假设最终答案 为 ,那么以 为分割点的数轴(该数轴上的点为 所能构造的分数值)上具有「二段性」:
- 小于等于 的值满足:其左边分数值个数小于 个;
- 大于 的值不满足:其左边分数值个数小于 个(即至少有 个)。
而当确定 时,利用 有序,我们可以通过「双指针」快速得知,满足 的分子位置在哪(找到最近一个满足 的位置)。
另外,我们可以在每次 check
的同时,记录下相应的
和
。
代码:
class Solution {
double eps = 1e-8;
int[] arr;
int n, a, b;
public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] _arr, int k) {
arr = _arr;
n = arr.length;
double l = 0, r = 1;
while (r - l > eps) {
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid) >= k) r = mid;
else l = mid;
}
return new int[]{a, b};
}
int check(double x){
int ans = 0;
for (int i = 0, j = 1; j < n; j++) {
while (arr[i + 1] * 1.0 / arr[j] <= x) i++;
if (arr[i] * 1.0 / arr[j] <= x) ans += i + 1;
if (Math.abs(arr[i] * 1.0 / arr[j] - x) < eps) {
a = arr[i]; b = arr[j];
}
}
return ans;
}
}
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- 时间复杂度:二分次数取决于精度,精度为
,二分复杂度为
check
的复杂度为 。整体复杂度为 - 空间复杂度:
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.786
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:github.com/SharingSour…
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