LIS（最长上升子序列），LCS（最长公共子序列）是动态规划中基础的两个问题，今天连同他们的联合版LCIS一起总结一下。
LIS（最长上升子序列）：有两种方法，一种DP(n*n)，还有一种解法复杂度是贪心+二分（nlogn）
法一:
//dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[i]>a[j]) //如果当前这个值大于了a[j]，那么dp[i]就可以由dp[j]所代表的最长上升子序列的集合加上当前的a[i]转移过来。
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
int ans=-1;
for(int i=1;i<=n;i++) //遍历一遍以哪个数结尾的最长上升子序列值最大
ans=max(ans,dp[i]);
法二：
//dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列,num存储不降序列，len表示不降序列的长度
int len=0,num[SIZE],a[SIZE];
num[++len]=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i]>num[len]) num[++len]=a[i];
else
{
int pos=lower_bound(num,num+1+len,a[i])-num;
num[pos]=a[i];
}
}
//最后的len即为答案；
LCS（最长公共子序列）：
dp[i][j]表示数组a中1到i，数组b中1到j的序列的最长公共子序列
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(a[i]==b[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1); //进行决策
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
LCIS（最长公共上升子序列）这个结合了LIS和LCS，在dp方程的含义上也有二者的结合。
dp[i][j]表示数组a的1到i的序列中，以b[j]结尾的最长公共上升子序列，可以看到，dp[i][j]其实表示的是一个集合，包括了a[1]b[j]，a[2]b[j]…a[i]b[j]这些集合，其中的最长的公共上升子序列的长度就存储在dp[i][j]中。为什么要这样规定，因为我们要找上升子序列，就需要知道以前的状态的最后一个值是多少，我们才可以把状态给更新下去。
所以枚举到i,j时，我们分两部分考虑，这两部分能够不重不漏的包括所有情况，一种是a[i]=b[j],另一种相反
1.a[i]!=b[j]，dp[i][j]表示数组a的1到i的序列中，以b[j]结尾的最长公共上升子序列，因为a[i]!=b[j],我们又要求以b[j]结尾，所以去掉a[i]后结果一定是不变的，反着来说就是加上a[i]后对dp[i][j]表示的最长长度不会发生改变，那么我们只看数组a前i个结果一定不会变，也就是dp[i][[j]=dp[i-1][j];
2.a[i]==b[j]:此时我们如果把a[i]去掉那么就会对结果产生影响。举个例子：
2,5,6,9
3,4,5,7
我们假设i=2,j=3，除去a[2]，只看a[1]时，dp[1][3]=0;然而加入了a[2]后,dp[2][3]就变成了1；对结果产生了影响。
接着上面的说，如果此时a[i]==b[j],那么dp[i][j]一定是max(dp[i-1][k]+1), 1=<k<j且b[k]<b[j]，大致的意思就是我们从以前的状态中找一个最大值再加上当前a[i]=b[j]这一对又可以更新最长公共上升子序列的长度。
时间复杂度：O（nnn）
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(a[i]==b[j])
{
for(int k=1;k<j;k++)
if(a[i]<b[j])
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1]][k]+1);
}
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans,dp[n][i]); //遍历一遍看以b[?]结尾的值最大，ans即是答案。
优化:
for(int k=1;k<j;k++)
if(b[k]<b[j]) //由上可知b[j]=a[i];
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1]][k]+1);
这一段代码其实就是在找一个最大值，并且这个最大值是可以维护的。所以对于每一个i,我们只需要维护当前i下，所有b[j]小于a[i]时的maxv就可以优化掉一重循环。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int maxv=1;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(a[i]==b[j]) dp[i][j]=max(maxv,dp[i][j]);
if(a[i]>b[j]) maxv=max(maxv,dp[i-1][j]+1);
}
}
END
