LIS LCS LCIS算法总结

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前言

Q：标题是什么意思？
A：$LIS$ 指最长上升子序列，$LCS$ 指最长公共子序列，$LCIS$ 指最长上升公共子序列。
不清楚上面几个定义的建议复习一下“子序列”之类的概念。这里的上升都是严格的。
这几种经常会在OI竞赛中遇到，属于基本功吧。搞个总结。

LIS

例1

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a$，求其 $LIS$ 的长度。
$n \le 1000$。

解

我们拿个样例，比如：

1  3  6  4  9  7  8

可以看出它的 $LIS$ 是 1 3 4 7 8。
分析可以使用化归法，把 $n$ 的问题化成 $n-1$ 的问题。（类似动规思想）
如果我们知道前面 $n-1$ 个数的 $LIS$ ，怎么求第 $n$ 的？
有人可能会想：如果 $a_n$ 能进就放进去不就好了？
但是前面的 $n-1$ 个数可能有多个 $LIS$ ，那要塞哪个呢？
很容易就会想到，肯定是尽量使得 $LIS$ 最后那个数最小的那个啊。
所以我们这样想下去，就是要保证 $LIS$ 中每一位数都是尽可能小的。
拿样例举例，如果当前做到第5位，目前满足上述条件的 $LIS$ 为：

1  3  4  9

加入7，发现7没9大，加不进去。
但是为了使每一位最小，要把9换掉，就变成

1  3  4  7

OK。这样 $LIS$ 的做法已经出来了。
当新加入一个数时，在LIS里从找一个最大的比它小的数，然后与其后面一个数更换。如果这个数在 $LIS$ 尾，那么直接插入。这样是 $O(n^2)$ 的。

例2

同例1。数据范围加大。$n \le 50000$。

解

分析上面解答中的步骤，我们发现“找一个最大的比它小的数”可以二分（由于 $LIS$ 单调），复杂度就优化为 $O(n log n)$ 了。
代码：

inline int LIS()
{
    lis[len = 1] = a[1];
    for (R int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(a[i] > lis[len]) lis[++len]=a[i];
        else
        {
            R int pos=lower_bound(lis+1,lis+len+1,a[i])-lis;
            lis[pos] = a[i];
        } 
    }
    return len;
}

LCS

例3

给定长度分别为 $n,m$ 的两个数列 $a，b$，求它们的 $LCS$ 。
$n,m \le 1000$。

解

仍然考虑 $dp$ 思想。记 $f_{i,j}$ 为数列 $a$ 做到 $i$，数列 $b$ 做到 $j$ 的 $LCS$ 的长度，考虑转移。
如果 $a_i = b_j$ ，那 $f_{i,j} = f_{i-1,j-1} + 1$ ；
否则，$f_{i,j} = max(f_{i-1,j},f_{i,j-1})$ 。

例4

同例3，数据范围扩大。$n，m \le 50000$，保证相同元素在一个数列中出现的次数不超过20次。

解

给个样例：

 1  2  3  4  5  6 
 3  6  2  7  3  6
 6  5  2  7  7  3

从上到下分别为序号、数列 $a$、数列 $b$。通过观察可以发现 $LCS$ 为 6 2 7 3
由于范围过大显然不能用dp的做法了，这里介绍一种 $O(20n log (20n) )$ 的做法（20的含义见题面）
我们把 $a$ 中每个元素在 $b$ 中出现的位置记下来从大到小，然后和原来在 $a$ 数列中的数替换位置。比如第二行处理后就变成：

(6) (1) (3) (5 4) (6) (1)  

然后对它求一个 $LIS$ ，再替换为对应的数即为 $LCS$ 。

1  3  5  6
替换后
6  2  7  3

原理：最长公共子序列中的序列序号都是递增的。
代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

#define R register
#define Maxn 1000005
#define Maxnum 1000005

int n,m,s1[Maxn],s2,a[Maxn],lena,lis[Maxn],len;
int app[Maxnum][22],t[Maxnum];
inline int LIS()
{
    lis[len = 1] = a[1];
    for (R int i=2;i<=lena;++i)
    {
        if(a[i] > lis[len]) lis[++len]=a[i];
        else
        {
            R int pos=lower_bound(lis+1,lis+len+1,a[i])-lis;
            lis[pos] = a[i];
        } 
    }
    return len;
}
int main()
{
    freopen("input9.txt","r",stdin);

    scanf("%d",&n);
    for (R int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&s1[i]);

    scanf("%d",&m);
    for (R int i=1;i<=m;++i) 
    {
        scanf("%d",&s2);
        app[s2][++t[s2]] = i;
    }
    for (R int i=1;i<=n;++i)
    {
        sort(app[s1[i]]+1,app[s1[i]]+t[s1[i]]+1);
        for (R int j=t[s1[i]];j;j--) a[++lena]=app[s1[i]][j];
    }
    printf("%d\n",LIS());
    return 0;
}

LCIS

例5

给定长度分别为 $n,m$ 的两个数列 $a，b$，求它们的 $LCIS$ 。
$n,m \le 1000$。

解

貌似也有人把 $LCIS$ 叫 $LICS$ 来着 …、
仍然dp，类比 $LCS$ 记 $f_{i,j}$ 为 $a$ 做到 $i$，$b$ 做到 $j$ ，并且以 $b_j$ 结尾的$LCIS$ 的长度。
如果 $a_i = b_j$ ，那么我们要判断一下是否上升，
于是我们就往回找，找到最长的可以接入的来更新，即：
$f_{i,j}=max(f_{i,k}),k \in [1,j-1]+1$
否则，就直接从之前转移
$f_{i,j}=f_{i-1,j}$

The End