二叉树的相关定义和证明

1、有向树：若有向图 $D$的基图是无向树，则称 $D$为有向树。
2、若有向树 $T$是平凡树，或 $T$中有一个顶点入度为 $0$，其余顶点入度为 $1$，则称 $T$为有根树。入度为 $0$的点称树根，入度为 $1$出度为 $0$的点称树叶，入度为 $1$出度不为 $0$的点称内点，内点和根统称分支点。树中点 $v$的层数定义为从树根到 $v$的路径（容易证明该路径必然存在）长度，层数最大的顶点的层数称树高。
3、设 $T$为一棵根树， $v_i,v_j\in V(T)$，若 $v_i$可达 $v_j$，称 $v_i$是 $v_j$的祖先， $v_j$是 $v_i$的后代；若 $v_i$邻接到 $v_j$，则称 $v_i$是 $v_j$的父亲， $v_j$是 $v_i$的儿子；若 $v_j$和 $v_k$父亲相同，称 $v_j$和 $v_k$互为兄弟。
4、设 $T$是一棵根树，若将 $T$的同层数的顶点标上次序，则称 $T$为有序树。
5、设 $T$是一棵根树，若 $T$的每个分支点至多有 $r$个儿子，称 $T$为 $r$叉树；若每个分支点恰好有 $r$个儿子，称 $T$为 $r$叉正则树（proper tree）。

计算机里我们主要考虑的是”二叉树“，也就是有序的二叉根树。我们考虑它的诸多性质：
1、二叉树的第 $i$层上最多有 $2^{i-1}$个节点，其中 $i\ge 1$。
证明：当 $i=1$时显然。设当 $i=k$时结论成立。则 $i=k+1$时，由于第 $k$层至多有 $2^{k-1}$个节点，而每个节点最多两个孩子，所以第 $k+1$层最多 $2*2^{k-1}=2^{(k+1)-1}$个节点。由数学归纳法，结论成立。

2、高度为 $k$的二叉树最多含 $2^k-1$个节点。
证明：由1，每一层我们取最大值，则高度为 $k$的二叉树最多含的节点数为 $1+2+2^2+2^3+...+2^{k-1}=2^k-1$个节点。

3、任何一个二叉树，如果含 $n_0$个叶子节点， $n_2$个度为 $2$的节点，则必然有 $n_0=n_2+1$。这里的度指的是根树里的出度。
证明：设度为 $1$的节点个数为 $n_1$，则二叉树节点总个数 $n=n_0+n_1+n_2$，二叉树的边数为 $n_1+2n_2$，由于在二叉树里，边数等于顶点数减 $1$，所以 $n_0+n_1+n_2=n_1+2n_2+1$所以 $n_0=n_2+1$。

定义：
1、满二叉树（full binary tree）：深度为 $k$且含 $2^k-1$个节点的二叉树。
2、完全二叉树（complete binary tree）：将某个满二叉树按照层序遍历对每个节点编号。对于某个树，如果存在某个满二叉树，使得该树的 $n$个节点和满二叉树中编号为 $1$到 $n$的节点一一对应，称此树为完全二叉树。

性质：
一个具有 $n$个节点的完全二叉树的深度为 $\lfloor \log _2 n\rfloor +1$。
证明：设某完全二叉树深度为 $k$，则 $2^{k-1} -1 < n\le 2^k-1$，也可以写为 $2^{k-1}\le n < 2^k$，所以 $\lfloor \log _2n\rfloor = k-1$，所以 $k=\lfloor \log _2n\rfloor +1=\lceil\log_2(n+1)\rceil$。

接下来，对于含有 $n$个节点的完全二叉树，我们考虑它的亲子的下标的关系。为了研究二叉堆的方便，我们将编号变为从 $0$开始。
性质：
1、如果节点 $i$有左孩子，那么其左孩子的下标为 $2i+1$，且 $2i+1\le n-1$。如果节点 $i$有右孩子，那么其右孩子的下标为 $2i+2$，且 $2i+2\le n-1$。如果节点 $i$非根节点，则其父亲为 $\lfloor \frac{i-1}{2}\rfloor$。
证明：数学归纳法。先证前两个性质。如果 $i=0$，显然成立。假设当 $i=k$时成立。对于 $i=k+1$时，由于 $k+1$有左孩子，所以那么节点 $k$也必然有左孩子，否则二叉树无法complete。既然节点 $k$的左孩子是 $2k+1$，所以 $k+1$的左孩子是 $2k+1+2=2(k+1)+1$。由数学归纳法，结论成立。右孩子的情况类似可证。最后一条性质可以由前两条证明出来。

2、给定一个数组，对其堆化，时间复杂度是 $O(n)$。
证明：首先考虑堆化是个什么样的过程。我们先对二叉堆的最后一层开始，每次从当前层到下面的层堆化每一个小部分，直到堆化到第一层即可。
先从倒数第一层开始，将最后的每个叶子看作一个小型的堆，那么这些元素都不需要percolate。再看倒数第二层，将此层每个节点连同它们的后代做堆化，则每个堆顶至多需要比较 $2$次，也就是分别和左右孩子各比较 $1$次。再看倒数第三层，每个堆顶要percolate down的话，最多需要比较 $4$次，也就是每次sift down一次，就要比较两次。一般地，倒数第 $k$层，就需要比较 $2(k-1)$次。设二叉堆总共有 $m$层，则倒数第 $k$层最多有 $2^{m-k}$个节点，所以堆化的时间复杂度为 $T(m)=2^m\sum_{k=1}^{m} \frac{k-1}{2^{k-1}}$设 $s=\sum_{t=0}^{m-1} \frac{t}{2^t}=\sum_{t=1}^{m-1} \frac{t}{2^t}$则 $\frac{1}{2}s=\sum_{t=0}^{m-1} \frac{t}{2^{t+1}}=\sum_{t=1}^{m} \frac{t-1}{2^{t}}$两式相减，得： $\frac{1}{2}s=\sum_{t=1}^{m-1}\frac{1}{2^t}-\frac{m-1}{2^m}\\s=\sum_{t=0}^{m-1}\frac{1}{2^t}-\frac{m}{2^{m-1}}=2-\frac{m+1}{2^{m-1}}$所以 $T(m)=2^{m+1}-2(m+1)$而 $m=\lfloor \log _2 n\rfloor +1$，所以时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$为二叉树节点数。
3、给定一个空堆，向其逐次添加 $n$个元素，则建堆过程复杂度为 $O(n\log n)$。
证明：显然第 $k$层元素percolate up的次数最多是 $k$，所以如果二叉堆有 $m$层，所花时间 $T(m)=\sum_{k=1}^{m}2^{k-1}k=(m-1)2^m+1$而 $m=\lfloor \log _2 n\rfloor +1$，所以时间复杂度为 $O(n\log n)$。