一.什么是大步小步算法（BSGS）

$a^{x}\equiv b(mod p)$ 已知a,b,p，求x。

形如这样的同余式问题，可以用大步小步算法解决： $(a^{\sqrt{p}})^{k}\equiv b*a^{m}(modp)(k\leq \sqrt{p},m\leq \sqrt{p})$ 直接将所有 $(a^{\sqrt{p}})^{k}$ 存入map，再用 $b*a^{m}$ 来对拍，找到合法的m和k，最后 $x=k\sqrt{p}-m$ 。

证明：

设 $x=k\sqrt{p}-m$ ，那么原式可变为 $a^{k\sqrt{p}-m}\equiv b(mod p)$

又可变为 $a^{k\sqrt{p}}/a^{m}\equiv b(mod p)$

$a^{k\sqrt{p}}\equiv b*a^{m}(modp)$

$(a^{\sqrt{p}})^{k}\equiv b*a^{m}(modp)$

二.模板

出自一道模板题：

Discrete Logging

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
#define LL long long
map <LL, LL> a;
LL B, P, N, ans;
inline LL ceil (LL x){
    if (sqrt (x) * sqrt (x) != x)
        return sqrt (x) + 1;
    return sqrt (x);
}
int main (){
    while (~scanf ("%lld %lld %lld", &P, &B, &N)){
        LL len = ceil (P), t = N, m = 1, n = 1;
        ans = 0;
        a.clear ();
        for (register int i = 1; i <= len; i ++){
            m = m * B % P;
            t = t * B % P;
            a[t] = i;
        }
        for (register int i = 1; i <= len; i ++){
            n = m * n % P;
            if (! a[n])
                continue;
            ans = 1;
            printf ("%I64d\n", i * len - a[n]);
            break;
        }
        if (! ans)
            printf ("no solution\n");
    }
}

三.进阶例题：计算机

1.题目

2.题解

这道题一共有三个问，我们一个一个的解答：

1.直接用快速幂算

2. $x\equiv zy^{-1}(modp)$

证明：（ $y^{-1}$ 是y的逆元）

$xy\equiv z(modp)$

$xy*y^{-1}\equiv z*y^{-1}(modp)$

$x\equiv zy^{-1}(modp)$

3.用BSGS的模板

就这样就完的。

但是，有一个细节需要扣。就是z和y在运算前需要模p，因为在运算前我们还要判断y等于0时，z是否等于0，是则输出1，否则输出无解。

3.代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
LL T, K, y, z, p;
map <LL, LL> A;
LL qkpow (LL a, int b){
    LL sum = 1;
    while (b > 0){
        if (b % 2 == 1)
            sum = sum * a % p;
        a = a * a % p;
        b /= 2;
    }
    return sum;
}
void BSGS (){
    if(y == 0 && z == 0){printf("1\n"); return ;}
    if(y == 0 && z != 0){printf("Orz, I cannot find x!\n"); return ;}
    LL len = ceil (sqrt (double (p))), t = z, m = 1, n = 1;
    A.clear ();
    for (int i = 1; i <= len; i ++){
        t = t * y % p;
        m = m * y % p;
        A[t] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= len; i ++){
        n = n * m % p;
        if (! A[n])
            continue;
        printf ("%lld\n", i * len - A[n]);
        return ;
    }
    printf ("Orz, I cannot find x!\n");
}
int main (){
    scanf ("%lld %lld", &T, &K);
    while (T --){
        scanf ("%lld %lld %lld", &y, &z, &p);
        if (K == 1)
            printf ("%lld\n", qkpow (y, z));
        y %= p;
        z %= p;
        if (K == 2){
            if (y == 0 && z != 0){
                printf ("Orz, I cannot find x!\n");
                continue;
            }
            LL x = qkpow (y, p - 2) * z % p;
            printf ("%lld\n", x);
        }
        if (K == 3){
            BSGS ();
        }
    }
    return 0;
}

谢谢！

PI_PJW

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计算器——大步小步算法（BSGS）