牛客20347 SDOI2011计算器（bsgs

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20347

这篇是为了补bsgs（北上广深算法）。

题意：

1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值； 

2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；

3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。

 

思路：

1.当然是裸的快速幂取模啦。

2.原式<=>yx+pk=z有解，exgcd记录d=gcd(y,p)，看是否d|z即可。

3.要求满足形如a^x ≡ b (mod p)的最小非负整数x。

由周期性只需在[0,p)讨论即可，证明的话，抽屉原理显然，或者由费马小定理（  当p为质数且(a,p)=1时 a^(p-1)=1 (mod p)  )能推出a^k=a^(k mod (p-1)) (mod p)。

把x分块，每块长度是m，其中m=ceil(sqrt(p))，则a^(i*m-j) = b (mod p)，移项得a^(i*m) = b*a^j (mod p)

枚举j（范围0-m)，将b*a^j存入哈希表。

枚举i（范围1-m），从哈希表找出第一个满足a^(i*m) = b*a^j (mod p)的i

此时x = i*m-j就是答案

时间复杂度O(m+p/m),m取√p时最优。

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define int long long
 4 int T,k,a,b,p;
 5 map<int,int>mp;
 6 
 7 int kuai(int a,int b,int mod)
 8 {
 9     if(b==1)return a;
10     int x=kuai(a,b/2,mod);
11     if(b%2==0)return x*x%mod;
12     else return x*x%mod*a%mod;
13 }
14 
15 void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
16 {
17     if(b==0){d=a;x=1;y=0;}
18     else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
19 }
20 
21 int bsgs(int a,int b,int p){
22     a%=p;b%=p;
23     if(!a&&!b) return 1;
24     if(!a||!b) return -1;
25     mp.clear();
26     int m = ceil(sqrt(1.0*p)),tmp=1;
27     mp[tmp*b%p]=0;
28     for(int j=1;j<=m;j++){
29         tmp = tmp*a%p;
30         if(!mp[tmp*b%p]) mp[tmp*b%p] = j;
31     }
32     int t = 1,ans;
33     for(int i=1;i<=m;i++){
34         t=t*tmp%p;
35         if(mp[t]){
36             ans = i*m-mp[t];
37             return (ans%p+p)%p;
38         }
39     }
40     return -1;
41 }
42 
43 signed main(){
44     
45    scanf("%lld%lld",&T,&k);
46     while(T--)
47     {
48         scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
49         if(k==1)printf("%lld\n",kuai(a,b,p)%p);
50         else if(k==2)
51         {
52             int x=0,y=0,d;
53             exgcd(a,p,d,x,y);
54             if(b%d)
55             {
56                 puts("Orz, I cannot find x!");
57                 continue;
58             }
59             x=x*b/d;
60             x=(x%p+p)%p;
61             printf("%lld\n",x);
62         }
63         else{
64             int ans=bsgs(a,b,p);
65             if(ans==-1)puts("Orz, I cannot find x!");
66             else printf("%lld\n",ans);
67         }
68     }
69     return 0;
70 }

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