离散对数——大步小步算法(BSGS)

问题

已知$a,b,P$，且a与P互质，求解同余方程$a^x \equiv b \space (mod \space P)$

算法推导

设 $m=\left \lceil \sqrt P \space \right \rceil$
设 $x=im+j$，即 $i=\left \lfloor \frac x m \right \rfloor$，$j=x \space mod \space m$
所以满足$i \leq m$，$j \leq m$
得

$$a^{im+j} \equiv b \space (mod \space P)$$
$$a^j a^{im} \equiv b \space (mod \space P)$$
$$a^j \equiv a^{-im}b \space (mod \space P)$$

算法流程

先枚举j，将得到的$a^j$存入hash表；
再枚举i，计算$a^{-im}b$，是否存在hash表中，如果有，则找到了解，输出即可。

为保证答案最小，必须保证先枚举j，再枚举i，且保证$a^j$在hash表中j从小到大排列

代码

long long work(long long a,long long b,long long P)
{
    long long m,v,e=1,i;
    m=ceil(sqrt(P+0.5));

    v=pow_mod(a,m,P);
    v=inv(v);//v=a^(-im)

    Hash::clear();
    Hash::add(1,0);
    for(i=1;i<m;i++)
    {
        e=(e*a)%P;
        if(Hash::get(e)==-1)
            Hash::add(e,i);
    }
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        int t=Hash::get(b);
        if(t!=-1)
            return i*m+t;
        b=(b*v)%P;
    }
    return -1;
}

模板题

POJ2417