1.7 商群

§7 商群

在群中，我们定义子集合的运算：

设 $A,B$ 是群 $G$ 的两个子集合。定义：
$AB = \{ ab | a\in A,b \in B \}$
即由 $A$ 中元素和 $B$ 中元素相乘所得的集合。子集乘积满足结合律： $(AB)C = A(BC)$.

显见:若 $A$ 为一子群， $B=\{b\}$，则 $AB$ 是子群 $A$ 的一个右陪集。

对于任意子集合 $A$，定义：
$A^{-1} = \{ a^{-1} | a\in A \}$
即由 $A$ 中元素的逆元素组成的集合。

注：利用集合运算，我们可将定理1.4.1改写为：

群 $G$ 中非空子集合 $H$ 为一子群的充要条件是： $HH^{-1} \subset H.$

对于正规子群，我们有如下重要事实：

定理1.7.1

设 $H$ 为群 $G$ 的一个子群， $H$ 是正规子群的充要条件是：任意两个左（右）陪集之积仍为一个左（右）陪集。

证明

“ $\Rightarrow$”

设 $H$ 为一正规子群， $Ha，Hb$ 是两个右陪集。则：
$(Ha)(Hb) = H(aH)b = H(Ha)b = Hab.$

“ $\Leftarrow$”

设 $Ha，Hb$ 是任意两个右陪集。由条件 $(Ha)(Hb) = Hc.$ 显然 $ab\in (Ha)(Hb)$，即 $ab \in Hc$. 固有
$(Ha)(Hb) = Hc = Hab$
两边用 $b^{-1}$ 右乘得：
$HaH = Ha.$
因为 $e \in H$，所以 $aH \in HaH$，即：
$aH \in Ha$
或
$aHa^{-1} \subset HaH,对所有的a\in G.$
将 $a$ 换为 $a^{-1}$，则有
$a^{-1}Ha \subset H$
从而
$aHa^{-1} = H，对所有的a \in G.$
这证明了 $H$ 为正规子群。 $\blacksquare$

令 $G/H$ 代表正规子群 $H$ 的全部不同的右陪集所组成的集合。

定义1.7.1（商群）

$G/H$ 在陪集的乘法下所成的群称为 $G$ 对正规子群 $H$ 的 商群，仍记为 $G/H$。

对于正规子群，左陪集也就是右陪集，故 $G/H$ 亦可以看作是左陪集所组成的群。

定义1.7.2（自然同态）

设 $H \triangleleft G$ 。定义
$\varphi(a) = Ha,$
显然有
$\varphi(ab) = Hab = HaHb = \varphi(a) \varphi(b).$
因此， $\varphi$ 是 $G$ 到 $G/H$ 的一个同态，而且是映上的。称其为群 $G$ 到其商群的自然同态。

下面的定理进一步叙述了同态和正规子群的关系：

定理1.7.2（群同态基本定理）

设 $\sigma: G\rightarrow G'$ 是一满同态 ， $N$ 是 $\sigma$ 的核，则 $G/N$ 和 $G'$ 同构。

证明

设 $\varphi: G\rightarrow G/N$ 是一自然同态。这样，有两个满同态： $\sigma$ 和 $\varphi$. 要找一个同构 $\psi:G/N \rightarrow G'.$

定义
$\psi(Na) = \sigma(a),$
因为 $\sigma$ 是一满同态，即 $\sigma(G) = G'$，所以由前面的分析表明， $\psi$ 是 $G/N$ 到 $G‘$ 的一个一一对应。且有：
$\psi(NaNb) = \psi(Nab) = \sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b) = \psi(Na)\psi(Nb).$
故证得： $\psi: G/N \rightarrow G'$ 是一同构，原命题证毕。 $\blacksquare$