1.4 几何概率

1.4 几何概率

我们在古典概型中，利用 “等可能性” 的概念可以计算简单的一类问题的概率。一些“有无限多结果，但又有某种可能性”的情况，可以通过几何方法来求解。

在这类问题中，试验的可能结果是某个区域 $\Omega$ 中的一个点。此时，可能的结果是无限的。因此，等可能性是通过下列方式赋予意义的：

落在某区域 $g$ 的概率和区域 $g$ 的测度（长度，面积，体积）等成正比，且与其位置和形状无关。

因此，若以 $A_{g}$ 记“在区域 $\Omega$ 中随机地取一点，而该点落在区域 $g$ 中”这一事件，则其概率定义为;

$P(A_{g}) = \frac{g的测度}{\Omega 的测度}$

几何概率的定义和计算与几何图形的测度密切相关。因此，所考虑的事件应当是某种可定义测度的集合：这类集合的并、交也应该有这个要求。

几何概率应具有以下性质：

1. 对任何事件 $A$ ， $P(A) \geq 0$;
2. $P(\Omega) = 1$;
3. (可列可加性) 若 $A_{1},A_{2},\dotsb,A_{n}$ 两两互斥，则有
   $P(\sum^{\infty}_{n = 1}A_{n}) = \sum^{\infty}_{n = 1}P(A_{n}).$