[洛谷P2764] 最小路径覆盖

问题描述

给定有向图 G=(V,E) 。设 P 是 G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果 V 中每个定点恰好在P的一条路上，则称 P 是 G 的一个路径覆盖。P中路径可以从 V 的任何一个定点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 0 。G 的最小路径覆盖是 G 所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个 DAG (有向无环图) G 的最小路径覆盖。

输入格式

第一行有 2 个正整数 n 和 m 。 n 是给定\(\text{DAG}\)(有向无环图) G 的顶点数， m 是 G 的边数。接下来的 m 行,每行有两个正整数 i 和 j 表示一条有向边 (i,j)。

输出格式

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

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解析

由已知条件，每个点的入度和出处均为0。为满足这一限制，不妨将每个点\(x\)拆成两个点\(x1,x2\)，源点向其中一个连边，另一个向汇点连边。对于原图上存在的边\((u,v)\)，我们从\(u1\)向\(v2\)连边。每条边的容量均为1，代表度数限制。这张图的最大流显然是\(n\)，那么我们只需要跑一边最大流，然后对于残量网络上原图对应的边，如果满流说明路径覆盖集中包含这条边，输出即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 152
#define M 6002
using namespace std;
const int inf=1<<30;
int head[2*N],ver[M*2],nxt[M*2],cap[M*2],l;
int head1[N],ver1[M],nxt1[M],l1;
int n,m,i,j,s,t,dis[2*N],d[N],ans;
int read()
{
    char c=getchar();
    int w=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c<='9'&&c>='0'){
        w=w*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return w;
}
void insert(int x,int y,int z)
{
    ver[l]=y;
    cap[l]=z;
    nxt[l]=head[x];
    head[x]=l;
    l++;
    ver[l]=x;
    nxt[l]=head[y];
    head[y]=l;
    l++;
}
bool bfs()
{
    queue<int> q;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    q.push(s);
    dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]){
            int y=ver[i];
            if(dis[y]==-1&&cap[i]>0){
                dis[y]=dis[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return (dis[t]>0);
}
int dfs(int x,int flow)
{
    if(x==t||flow==0) return flow;
    int ans=0;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]){
        int y=ver[i];
        if(dis[y]==dis[x]+1&&cap[i]>0){
            int a=dfs(y,min(flow,cap[i]));
            ans+=a;
            flow-=a;
            cap[i]-=a;
            cap[i^1]+=a;
        }
        if(flow==0) break;
    }
    if(flow) dis[x]=-1;
    return ans;
}
void Dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs()) ans+=dfs(s,inf);   
}
void insert1(int x,int y)
{
    l1++;
    ver1[l1]=y;
    nxt1[l1]=head1[x];
    head1[x]=l1;
    d[y]++;
}
void print(int x)
{
    printf("%d ",x);
    for(int i=head1[x];i;i=nxt1[i]) print(ver1[i]);
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();m=read();
    t=2*n+1;
    for(i=1;i<=n;i++) insert(s,i,1),insert(n+i,t,1);
    for(i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read();
        insert(u,n+v,1);
    }
    Dinic();
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=head[i];j!=-1;j=nxt[j]){
            if(ver[j]!=s&&cap[j]==0) insert1(i,ver[j]-n);
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(d[i]==0) ans++,print(i),puts("");
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}