蓝桥杯 地宫取宝【记忆性递归】

地宫取宝
时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述
　　X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
输入格式
　　输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
输出格式
　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
样例输入
2 2 2
1 2
2 1
样例输出
2
样例输入
2 3 2
1 2 3
2 1 5
样例输出
14
普通递归， dfs 查找
当数据大时会超时 得分42

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include<cmath> 
using namespace std;
int n, m, k;
int map[55][55];
int ans = 0;
void dfs(int x, int y, int maxx, int cnt){
	if(x == n || y == m || cnt > k) return;
	int val = map[x][y];
	if(x == n - 1 && y == m - 1){
		if(cnt == k || (cnt == k - 1 && val > maxx)){
			ans++;
			if(ans > 1000000007) ans = ans % 1000000007;
			return;
		}
	}
	if(val > maxx){
		dfs(x, y + 1, val, cnt + 1);
		dfs(x + 1, y, val, cnt + 1);
	}
	dfs(x, y + 1, maxx, cnt);
	dfs(x + 1, y, maxx, cnt);
	
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for(int i = 0; i < n; i++)
		for(int j = 0; j < m; j++)
			cin >> map[i][j];
	dfs(0,0,-1,0);
	cout << ans << endl;
 	return 0;
}

改进递归：记忆性递归

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include<cmath> 
#include<cstring>
using namespace std;
int n, m, k;
int map[55][55];

long long mem[55][55][20][20];
long long  dfs(int x, int y, int maxx, int cnt){
	if(mem[x][y][maxx+1][cnt] != -1) return mem[x][y][maxx+1][cnt];
	if(x == n || y == m || cnt > k) return 0;
	int val = map[x][y];
	long long ans = 0;
	if(x == n - 1 && y == m - 1){
		if(cnt == k || (cnt == k - 1 && val > maxx)){
			ans++;
			if(ans > 1000000007) ans = ans % 1000000007;
			
		}
		return ans;
	}
	if(val > maxx){
		ans += dfs(x, y + 1, val, cnt + 1);
		ans += dfs(x + 1, y, val, cnt + 1);
	}
	ans += dfs(x, y + 1, maxx, cnt);
	ans += dfs(x + 1, y, maxx, cnt);
	mem[x][y][maxx+1][cnt]  = ans % 1000000007;
	return mem[x][y][maxx+1][cnt];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	memset(mem, -1, sizeof(mem));
	for(int i = 0; i < n; i++)
		for(int j = 0; j < m; j++)
			cin >> map[i][j];
	
	cout << dfs(0,0,-1,0) << endl;
 	return 0;
}