图论初步——最短路(1)

最短路

分类

单源最短路：从一个点到其他所有点的最短路
算法： $Dijkstra,spfa$
多源最短路：从所有点到另外点的最短路
算法： $Floyd$

Floyd算法

时间复杂度： $O(n^3)$
适用范围： $0<=n<=300$

思想

类似于 $DP$
寻找 $2$个点 $i,j$，判断是否存在一个中间点 $k$，使得 $i->k->j$的距离小于 $i->j$的距离
由此得到方程式
$d[i][j]=min(d[i][k]+d[j][k]),k∈[1,n]$

核心代码

memset(d,127,sizeof(d));
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int k=1;k<=n;k++){
            if(i==j||i==k||j==k)  continue;
            d[i][j]=min(d[i][k]+d[j][k],d[i][j]);
        }
    }
}

Dijkstra算法初步

时间复杂度： $O(n^2)$(可以优化到 $O((n+m)logn)$)适用范围
适用范围： $10^4$到 $10^6$

思想

考虑在一个无负权边的图上（实际上是没有负环），如果一个点在一些点中离起点的距离最近，那么其他点必定无法更新起点到它的最短路。
我们先将距离赋一个极大值，然后用起点更新其他点的距离，此时标记起点。
然后找到剩余点中距离最小的点，标记它，用它来更新剩下的点。
被标记的点不被选择，不被更新，当所有点被标记后，输出每个点到起点的距离，即为最短路。

Example

以上图为例：
首先， $d[1]=0$，其余均为极大值，所以用 $1$来更新，标记点 $1$
此时 $d[2]=2,d[3]=6,d[5]=4$
$d[2]$最小，标记点 $2$
此时 $d[3]=5,d[4]=7$
$d[5]$最小，标记点 $5$
此时 $d[6]=6,d[7]=7$
…

核心代码

memset(vis,false,sizeof(vis));
memset(d,127,sizeof(d));
for(int i=1;i<=n;i++){
    int minn=2147483647,num;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        if(!vis[j]&&d[j]<minn){
           minn=d[j];
           num=j;
        }
    }
    vis[num]=true;
    for(int e=first[num];e;e=nxt[e]){
        int v=to[e];
        if(d[v]>d[num]+w[e])
          d[v]=d[num]+w[e];
    }
}