洛谷4213：【模板】杜教筛

洛谷4213：【模板】杜教筛

题意：

• 给定一个\(n\leq 10^9\)。
• 求:
  • \(ans1=\sum_{i=1}^n\phi(i)\).
  • \(ans2=\sum_{i=1}^n\mu(i)\).

思路：

• 杜教筛。
• 狄利克雷卷积的性质：
  • \(\mu*I=\epsilon\)，\(\phi*I=id\)，\(\mu*id=\phi\)。
• 杜教筛核心公式：
  • \(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})\)。

欧拉函数：

• \(\phi*I=id\)，取\(f=\phi,g=I,f*g=id\)。

• 又知道\(id\)是单位函数：\(id(n)=n\)。

• 则\(f*g\)的前缀和为\(\frac{n*(n+1)}{2}\)。

• 后半部分用数论分块求解。

莫比乌斯函数：

• \(u*I=\epsilon\)，取\(f=\mu,g=I,f*g=\epsilon\)。
• \(g\)和\(f*g\)的前缀和都太容易求了。
• \(g\)的前缀和等于\(n\)，\(f*g\)的前缀和等于\(1\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5e6;
bool vis[maxn+10];
int primes[maxn+10], cnt;
ll phi[maxn+10], mu[maxn+10];

void init(int n)
{
    phi[1] = 1;
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            primes[++cnt] = i;
            phi[i] = i-1;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; primes[j] <= n/i; j++)
        {
            vis[primes[j]*i] = 1;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j]*i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[primes[j]*i] = phi[i]*(primes[j]-1);
                mu[i*primes[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        mu[i] += mu[i-1];
        phi[i] += phi[i-1];
    }
}

unordered_map<int, ll> Smu, Sphi;

ll getSphi(int n)
{
    //提前筛好的
    if(n <= maxn) return phi[n];
    //记忆化
    if(Sphi[n]) return Sphi[n];
    //phi * I = id 的前缀和
    ll res = 1ll*n*(n+1)/2;
    for(int l = 2, r; l <= n; l = r+1)
    {
        r = n/(n/l);
        res -= (r-l+1)*getSphi(n/l);
    }
    return Sphi[n] = res;
}

ll getSmu(int n)
{
    if(n <= maxn) return mu[n];
    if(Smu[n]) return Smu[n];
    //原函数的前缀和是1
    //f = mu, g = I
    ll res = 1;
    for(int l = 2, r; l <= n; l = r+1)
    {
        r = n/(n/l);
        res -= (r-l+1)*getSmu(n/l);
    }
    return Smu[n] = res;
}

int main()
{
    init(maxn);
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int n; scanf("%d", &n);
        printf("%lld %lld\n", getSphi(n), getSmu(n));
    }
    return 0;
}