洛谷 P3768 简单的数学题 杜教筛+莫比乌斯反演

题目描述

由于出题人懒得写背景了，题目还是简单一点好。

输入一个整数n和一个整数p，你需要求出sum(i*j*gcd(i,j)) {1<=i,j<=n}。gcd(a,b)表示a与b的最大公约数。

刚才题面打错了，已修改

输入输出格式

输入格式：
一行两个整数p、n。

输出格式：
一行一个整数

输入输出样例

输入样例#1：
998244353 2000
输出样例#1：
883968974
说明

对于20%的数据， n≤1000 。

对于30%的数据， n≤5000 。

对于60%的数据， n≤10^6
，时限1s。

对于另外20%的数据， n≤10^9
，时限3s。

对于最后20%的数据， n≤10^10
，时限6s。

对于100%的数据， 5×10^8 ≤p≤1.1×10^9,且p为质数。

分析：https://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/80093762

容易反演得到ans=sum(g(n/i)*i^2*phi(i)) 其中n/i为整除

后面这个可以杜教筛解决了。

注意：map是平衡树，自带log，不可以把预处理的压入map中(跑了13s)；另外10^10时计算时要先取模。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <map>
#define LL long long

const int maxn=1e7+7;

using namespace std; 

LL n,p,ans,inv6,inv4;
LL cnt;
LL f[maxn];
int phi[maxn];
int prime[maxn];
bool not_prime[maxn];

map <LL,LL> h;

void getf(LL n)
{
    phi[1]=1;
    for (LL i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (LL j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    LL sum=0;   
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=(f[i-1]+i*i%p*phi[i])%p;
    }
}

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%p;
    if (y%2) c=(c*x)%p;
    return c;
}

LL sum_power2(LL n)
{
    return n%p*(n+1)%p*(2*n%p+1)%p*inv6%p;
}

LL sum_power3(LL n)
{
    return n%p*n%p*(n+1)%p*(n+1)%p*inv4%p;
}

LL getsum(LL n)
{
    if (n<=10000000) return f[n];
    LL c=h[n];
    if (c) return c;
    LL sum=0;
    for (LL i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        sum=(sum+getsum(n/i)*(sum_power2(last)+p-sum_power2(i-1)))%p;
    }
    c=sum_power3(n)-sum;
    h[n]=c;
    return c;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&p,&n);
    inv6=power(6,p-2);
    inv4=power(4,p-2);
    getf(10000000);
    LL x=0,y=0; 
    for (LL i=1,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        y=getsum(last);
        ans=(ans+sum_power3(n/i)*(y+p-x)%p)%p;
        x=y;
    }
    printf("%lld",ans);
}