【luogu P4213】【模板】杜教筛（Sum）（数学）（整除分块）

【模板】杜教筛（Sum）

题目链接：luogu P4213

题目大意

要你求 φ 函数的前缀和和 μ 函数的前缀和。
（分别是欧拉函数和莫比乌斯函数）

思路

前置知识（们）

积性函数：对于两个互质的数 $x,y$，$f(xy)=f(x)f(y)$，那 $f$ 就是积性函数。
完全积性函数：对于任意两个整数 $x,y$，$f(xy)=f(x)f(y)$，那 $f$ 就是完全积性函数。

一些积性函数：$\phi ,\mu ,d,\sigma$
（分别是欧拉函数，莫比乌斯函数，约数个数，约数个数和）
一些完全积性函数：$ϵ,I,id$
$ϵ(n)=[n=1],I(n)=1,id(n)=n$

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狄利克雷卷积：
有两个函数 $f,g$，它们的狄利克雷卷积：$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$

不难看出，它满足交换律和结合律。
然后单位元就是 $ϵ$。

然后又一些性质：（根据定义简单推一推都不难看出）
$\mu \ast I=ϵ$
$\phi \ast I=id$
$\mu \ast id=\phi$

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莫反：

如果 $g(n)=\sum _{d|n}f(d)$
那么 $f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$

这个地方的证明其实可以用 $\mu \ast I=ϵ$

给出条件相当于 $g=f\ast I$

然后 $g\ast \mu =f\ast I\ast \mu =f\ast ϵ=f$。

杜教筛

杜教筛就是用来求积性函数的前缀和 $sum(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$

考虑再找一个积性函数 $g$，求他们的狄利克雷卷积：
$\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{d|n}f(d)g(\frac{i}{d})$
$=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)$
$=\sum _{d=1}^{n}g(d)sum(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$

然后考虑 $g(1)sum(n)$，根据前缀和：
$=\sum _{i=1}^{n}g(i)sum(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)sum(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$
$=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)sum(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

那这个式子就是我们杜教筛要用的式子了。

有什么用呢，大概就是对于每个你要求的 $f$，如果你能找到一个合适的 $g$，它和 $f$ 乘起来很好算而且 $g$ 也好搞的话就可以拿来用。

就这题的例子，$\mu \ast I=ϵ$，所以左边部分就 $ϵ$ 的前缀和是 $1$，然后右边你可以用整除分块 $O(\sqrt{n})$ 搞。
然后 $\phi \ast I=id$，然后左边部分就 $id$ 的前缀和是 $\frac{(1+n)n}{2}$，右边也是整除分块过去。
（然后这两个右边 $g(i)$ 因为是整除分块也可以同前缀和求出，因为是 $I$ 所以就是 $r-l+1$，即块的大小）

然后你可以预处理出 $n^{\frac{2}{3}}$ 以内的结果，复杂度就可以压到 $O(n^{\frac{2}{3}})$。
（然后你还可以用 $map$ 弄个小小的记忆化）

代码

#include<map>
#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

//const int Maxn = 1664511;
const int Maxn = 2000000;
int T, np[Maxn + 1], prime[Maxn + 1];
int miu[Maxn + 1], x;
ll phi[Maxn + 1];
map <int, int> ans_miu;
map <int, ll> ans_phi;

void init() {
    
    //预处理 n^{2/3} 的部分
	miu[1] = phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= Maxn; i++) {
    
    
		if (!np[i]) {
    
    
			prime[++prime[0]] = i;
			miu[i] = -1;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= Maxn; j++) {
    
    
			if (i % prime[j]) miu[i * prime[j]] = -miu[i], phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1), np[i * prime[j]] = prime[j];
				else {
    
    
					miu[i * prime[j]] = 0, phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j], np[i * prime[j]] = prime[j];
					break;
				}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= Maxn; i++)//前缀和起来
		miu[i] += miu[i - 1], phi[i] += phi[i - 1];
}

ll get_phi(int x) {
    
    
	if (x <= Maxn) return phi[x];
	if (ans_phi[x]) return ans_phi[x];
	
	ll re = 1ll * (1ll + x) * x / 2;//id 函数的前缀和
	for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
    
    
		r = x / (x / l);
		re -= 1ll * (r - l + 1) * get_phi(x / l);
	}
	return ans_phi[x] = re;
}

int get_miu(int x) {
    
    
	if (x <= Maxn) return miu[x];
	if (ans_miu[x]) return ans_miu[x];
	
	ll re = 1;//ϵ 函数的前缀和
	for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
    
    
		r = x / (x / l);
		re -= 1ll * (r - l + 1) * get_miu(x / l);
	}
	return ans_miu[x] = re;
}

int main() {
    
    
	init();
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
    
    
		scanf("%d", &x);
		printf("%llu %d\n", get_phi(x), get_miu(x));
	}
	
	return 0;
}