agc036D Negative Cycle （dp）

题意

n个点的带权有向图，初始有一条链(i, i+1, 0)，然后对于每对 $(i,j),i\not =j$，若i<j则有 $(i,j,-1)$，否则是 $(j,i,1)$。初始的边无法删除，给出每条边的删除代价，求删边之后没有负环的最小删边代价。
$n<=500$

思路

• 删完负环之后存在从0到i的最短路，记为pi。
• 由于初始存在的边，从0~i的p是不递增的。
• 由于是最短路，每一个0~min的值都在p中出现过。
• 考虑给出一个最短路p后，求出保留边的最大权值。
• -1边只能由i点到达pj>=pi-1的j点，+1边只能到达pj>=pi+1的点。注意这两种边的方向不同。
• 使用一个二维的dp $F[i][j]$表示最后两个p的分界点是i,j，便可 $O(n^3)$dp求出答案。

最后，注意到会将所有可能的边保留下来，所以这样的最短路一定是合法的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 510;
int n;
ll a[2][N][N], f[N][N];
ll sum[2][N][N];

ll getsum(int sig, int a,int b, int x, int y) {
	//(a,x) (b,y)
	swap(x, b);
	if (a <= x && b <= y)
		return sum[sig][x][y] - sum[sig][a - 1][y] - sum[sig][x][b - 1] + sum[sig][a - 1][b - 1];
	else return 0;
}

ll ss;
int main() {
	freopen("d.in","r",stdin);
	cin>>n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			if (i != j) {
				scanf("%lld\n", &a[i<j][i][j]), ss += a[i<j][i][j];
			}
		}
	}
	for(int o=0;o<2;o++) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= n; j++) {
				sum[o][i][j] = sum[o][i][j - 1] + a[o][i][j];
			}
		}

		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= n; j++) {
				sum[o][i][j] += sum[o][i - 1][j];
			}
		}
	}

	memset(f,128,sizeof f);
	ll ans = f[0][0];
	f[0][0] = 0;
	for(int l = 0; l <= n; l++) {
		for(int r = l; r <= n; r++) {
			for(int nx = r + 1; nx <= n; nx++) {
				if (r == 0 && nx == 2) {
					int kk = r;
				}
				f[r][nx] = max(f[r][nx], f[l][r] + getsum(1, 1, r, r + 1, nx) + getsum(0, r + 1, nx, l + 1, nx));

			}
		}
	}
	for(int l = 1; l <= n; l++) ans = max(ans, f[l][n]);
	cout<<ss - ans<<endl;
}