BZOJ 1202: [HNOI2005]狡猾的商人（带权并查集）

Description

刁姹接到一个任务，为税务部门调查一位商人的账本，看看账本是不是伪造的。账本上记录了n个月以来的收入情况，其中第i 个月的收入额为Ai(i=1,2,3…n-1,n)， 。当 Ai大于0时表示这个月盈利Ai 元，当 Ai小于0时表示这个月亏损Ai 元。所谓一段时间内的总收入，就是这段时间内每个月的收入额的总和。 刁姹的任务是秘密进行的，为了调查商人的账本，她只好跑到商人那里打工。她趁商人不在时去偷看账本，可是她无法将账本偷出来，每次偷看账本时她都只能看某段时间内账本上记录的收入情况，并且她只能记住这段时间内的总收入。 现在，刁姹总共偷看了m次账本，当然也就记住了m段时间内的总收入，你的任务是根据记住的这些信息来判断账本是不是假的。

Input

第一行为一个正整数w，其中w < 100，表示有w组数据，即w个账本，需要你判断。每组数据的第一行为两个正整数n和m，其中n < 100，m < 1000，分别表示对应的账本记录了多少个月的收入情况以及偷看了多少次账本。接下来的m行表示刁姹偷看m次账本后记住的m条信息，每条信息占一行，有三个整数s，t和v，表示从第s个月到第t个月（包含第t个月）的总收入为v，这里假设s总是小于等于t。

Output

包含w行,每行是true或false,其中第i行为true当且仅当第i组数据，即第i个账本不是假的；第i行为false当且仅当第i组数据，即第i个账本是假的。

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题解：
带权并查集，也就是比普通并查集多维护一个sum数组，它用来记录每一个结点到其根节点的有向距离，正向为正，反向为负。

假设现在有这样一个图，红边表示我们当前要加入的边，两边的点不属于一个集合

那么我们要加边x和y应该怎么做呢？我们不妨让pre[1] = 3，用它们的根节点连接两个集合，然后根据向量相等： $1->3 = 1->2 + 2->4 + 4->3$就有 $sum[1] = -sum[2] - w + sum[4]$，那么我们再把这个式子化的更形象一点就是： $sum[xx] = -sum[x] - w + sum[y]$
其中的xx表示x点的根节点，yy则表示y的根结点，这个例子的x，y就分别是2，4，根节点xx，yy自然就是1，3，不在同一集合的加边就完成了，在同一个集合只需要判断两点有向距离是否是输入的w即可

然后考虑Find操作，因为加边操作会使根节点改变，然后就会让一些点到根节点的sum值改变，我们需要去更新，更新前我们需要知道，不管怎么更新，路径之间两点的有向距离不会变，那么我们只需要从根节点更新过来即可，根节点的sum值一定为0，这是肯定的，然后我们只需要在Find找根节点递归回来的时候更新到fa的距离，层层更新即可

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AC代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/rope>
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
#define LL long long
#define pii pair<int,int>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
const int MAXN = 1005;
const int MOD = 1000000007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int pre[MAXN],sum[MAXN],n,m;
int Find(int x){
    if(pre[x]==x) return x;
    int fa = Find(pre[x]);
    sum[x] += sum[pre[x]]; pre[x] = fa;
    return fa;
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m); bool ok = true;
        for(int i=0;i<=n;i++) pre[i]=i,sum[i]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int x,y,w; scanf("%d%d%d",&x,&y,&w); x--;
            int xx = Find(x),yy = Find(y);
            if(xx!=yy) pre[xx]=yy,sum[xx]=-sum[x]-w+sum[y];
            else if(sum[y]-sum[x]!=w) ok=false;
        }
        printf("%s\n",ok ? "true":"false");
    }
    return 0;
}