深入浅出通信原理笔记（1）

深入浅出通信原理（1）

最后还是发现csdn做笔记方便。。。最后还是回来写博客了额。虽然说不一定能保证每天更新，但是频率应该是会增加的，之前没发的博客大概也是会补上。

贫僧最近突然想要学学通信原理，在这之前由不想直接读《信号与系统》之类的东西（实在是懒得可以），所以就先翻翻《深入浅出通信原理》，先打下个大概的基础，再去深入各种各样的细节吧。对了，这个笔记只记录贫僧不懂的或者我认为值得记录的地方，书中贫僧觉得简单或者是常识的就直接跳过去了。

通信、模拟与数字信号

首先讲讲通信，最早期的时候貌似对讲机之类的东西是用模拟信号传输数据的，所以很容易被干扰和监听（因为模拟信号难以加密的特性，貌似早期有种通过跳频的方式进行加密，然而似乎现在已经行不通了）。印象比较深的就是以前电视上的那种雪花图像。。。

数字信号的抗干扰能力比起模拟信号强很多，在传输过程中只要波形不会失真得太厉害都可以被接收方还原出来，有点“猜”发送方意思的感觉。而且如果要进行远程信号传输的话可以通过中继器来传（下面的图来自《深入浅出通信原理》）

方法就是在传输的过程中，在信号快要失真的地方进行波形还原。中继器相当于是个“中间人”、驿站，给过往的“旅客”休息，然后再把旅客“发射”到接收端，这样可以保证旅客至少是比较完整地抵达接收端。

在发送信息的时候通常会进行这样的步骤：

交织（就是在发送前将数据按照一定的顺序进行打乱处理）是为了避免误码（因为系统在译码的时候只能够纠正单个码位的错误，面对连续的错误时可能会出现译码错误）的问题。

频率越高的信号振幅衰减得越快，贫僧觉得这个和光类似（其实都是电磁波），举个最常见的例子：夕阳红。因为这时阳光是斜着照射在大地上的，所以要穿过的大气层厚度会相对厚一些（类似的思路体现在了T-34的斜装甲上），所以频率比较高的蓝、紫光被“衰减”掉，滤除得只剩下了频率比较低振幅比较大的红光，于是就有了“夕阳红”（感觉这时大气层有点像一个滤波器了）。

比较值得记录的公式是正弦信号的正交性的公式：

$$\int_{T_{0}}\sin2m\pi f_{0}t \sin2n \pi f_{0}t dt = 0 \quad (m \neq n)$$
$$\int_{T_{0}}\cos2m\pi f_{0}t \cos2n \pi f_{0}t dt = 0 \quad (m \neq n)$$
$$\int_{T_{0}}\sin2m\pi f_{0}t \cos2n \pi f_{0}t dt = 0 \quad (m \neq n)$$
还有：
$$\int_{T_{0}}\sin2m\pi f_{0}t \sin2n \pi f_{0}t dt = \frac{T_{0}}{2} \quad (m = n)$$
$$\int_{T_{0}}\cos2m\pi f_{0}t \cos2n \pi f_{0}t dt = \frac{T_{0}}{2} \quad (m = n)$$

上面的公式都可以用积化和差公式证明，可以看书或者帖子，懒得记了。

复数

欧拉公式：

$$e^{j\theta} = \cos \theta + \mathrm{j}\sin \theta$$
上面这个公式可以用泰勒级数来证明，证明步骤是：把 $e^{z}$ 展开，然后将z变成 $z=\mathrm{j}x$，就可以将 $e^{z}$ 变换成 $\cos(x)$ 和 $\sin(x)$ 两个对应的泰勒级数展开的和。

在相乘的时候$\theta$ 如果大于0，那么向量势向逆时针旋转的，小于0就是顺时针（话说复数 $z = r(\cos (\phi) + \mathrm{j}\sin(\phi)$ 里面的$\mathrm{j}$ 其实就相当于是直接把 $\sin(\phi)$ 给旋转了90°，于是就出现了复平面。所以$\mathrm{j}^2 = -1$ 其实就是调转了180°，乘1次调转90°。还可以用另外一种方法理解，看下面这个公式就是了）。

$$e^{\mathrm{j}\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2} + \mathrm{j}\sin{\frac{\pi}{2}}) = \mathrm{j}$$

复信号：$s(t) = Ae^{j(\omega_{0}t + \varphi)}$ $A$是幅度，$\omega_{0}$ 是角速度，$\varphi$ 是初相，整个复信号其实就是长度为$A$ 的向量，还带旋转（毕竟有个角速度$\omega_{0}$），开始的角度是$\varphi$，大概就像下面这样。

复杂点的复信号的投影和李萨育图形差不多。

现实中传输的信号其实是两个独立的信号，只是表达起来用复信号表达方便很多。

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话说复数与复指数可以用向量旋转来进行理解，这个其实《电路》里面的复频率也有类似的用法，就是应对电路的容性和感性的那部分（话说听说因为大部分电路表现出的是感性，所以通常会加几个电容抵消掉）。

其实可以直接把虚部的$j$部分直接当作$y$轴，因为实部的变化不会影响到虚部的变化（两个轴/部分其实是独立的）。

复信号的积分特性

$$\int_{nT_0} s(t)dt = A \int_{nT_0}e^{\mathrm{j}(\omega_0 t + \varphi)}dt = A \int_{nT_0}[\cos(\omega_0 t + \varphi) + \mathrm{j}\sin(\omega_0 t + \varphi)] = 0$$

复信号的正交特性

$$\int_{T_0}e^{\mathrm{j}m\omega_0 t}e^{-\mathrm{j}n\omega_0 t}dt = 0 \quad (m\neq n)$$
$$\int_{T_0}e^{\mathrm{j}m\omega_0 t}e^{-\mathrm{j}n\omega_0 t}dt = T_{0}\quad (m = n)$$

正弦波

正弦波对应的公式：

$$s(t) = A\sin(2\pi ft+\phi)$$
正弦波可以转化成复信号，公式看上面的复信号定义。

傅里叶级数展开

定义：将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程。

展开式：

$$f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}c_{k}e^{\mathrm{j}k\omega _0 t}$$
这个式子里面的 $c_k$ 是傅里叶系数， $c_0$ 是直流分量。

我买到的这一版书貌似有点错误，傅里叶系数计算公式的积分上标写成了$\frac{\frac{T}{2}}{2}$，傅里叶系数的计算公式是：$c_k = \frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-\mathrm{j}k\omega_0t}dt \quad (k = 0, \pm1, \pm2, \dots)$

公式（2-7）里面用到了“奇函数在对称的积分域上积分为0”的定理。

$$c_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(\frac{k\pi}{2})}{\frac{k\pi}{2}} = \frac{1}{2} \mathrm{sinc}(\frac{k}{2})$$

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其实傅里叶级数涉及到一个基本的思想，就是能够将周期分解为无穷多个正弦波的累积（分解成余弦波其实也可以，同样的东西）。傅里叶系数就是对应这些正弦信号的幅度。

后面的下次再加。。。