1、常见信号的傅里叶系数。
- 周期方波信号的傅里叶系数求法如下。
假设方波信号x(t)的周期为T，幅度为1，脉宽为 τ，占空比为1/2，由此可得T=2τ。图像如下图所示。
c0的推导过程如下图所示。
上图中在积分区间[-τ/2, τ/2]内，x(t)=1，将其带入即可求出c0。
ck的推导过程如下。
又由：ω0=2π/T，得：ω0T=2π，又因为：T=2τ，所以：ω02τ=2π，得到：ω0*τ=π，方波信号的ck为下图中的式子。
也可以直接通过ck的通式求出c0。当k->0时，sin(kπ/2)/(kπ/2) -> 1，又由于sin(kπ/2)/(kπ/2)是初等函数，所以函数值等于极限值，由此可知该范例中c0等于0.5。 - 周期矩形信号的傅里叶系数求法如下。
周期方波信号其实属于周期矩形信号，周期方波信号的占空比等于2，周期矩形信号的占空比为n，因此可以通过周期方波信号来推广到周期矩形信号。
假设周期矩形信号的幅度为1、脉宽为τ、周期为T、占空比为1/n，由T=nτ、ω0nτ=2π、ω0τ=2π/n带入到下面图中的式子中。
带入后通过计算可以得到周期矩形信号的傅里叶系数的通项ck。如下图所示。
从上图中的式子可以看出，当占空比为1/2，也就是n=2时，代入得到的就是幅度为1的方波信号的傅里叶系数。
2、常见周期信号的离散谱。
- 余弦函数的离散谱如下图所示。
假设余弦信号为下图所示。
上图中的式子是由欧拉公式消除了含有虚数j的项得出来的。由此可知余弦函数的复指数信号的分解是通过欧拉公式得出的。
例子中的余弦函数的三维频谱如下图所示。
上图中的三位频谱是以角速度w作为横轴，也可以用频率f作为横轴。xy平面用来表示ck，因为ck是一个复数。
余弦函数的幅度谱如下图所示。
上图中的纵轴的幅度表示的是ck的模。
余弦函数的相位谱如下图所示。
上图中的纵轴的相位表示的是ck的相位，因为ck是一个复数。由于余弦函数的在-w0和w0处的ck都是0.5，对应复平面直角坐标系中的实轴正方向，幅角为0，故在这两个点的时候相位为0。 - 正弦信号的频谱。
假设正弦信号的如下图所示。
和余弦信号相同，正弦信号的分解为复指数信号可以通过欧拉公式进行消元来得到，而不需要通过傅里叶级数进行逼近。
正弦信号的三维谱如下图所示。
正弦信号的幅度谱如下图所示。
纵轴表示ck的模。
正弦信号的相位谱如下图所示。
上图中当w等于-w0的时候，ck等于0.5j，对应虚轴正方向，因此幅角为π/2。 - 周期方波信号的频谱。
假设周期方波信号周期：T=1，脉冲宽度：τ=0.5，占空比：1/n=τ/T=1/2。如下图所示。
根据的周期矩形信号的傅里叶系数ck的通项可以求出该范例中的周期方波信号的ck通项。
周期矩形信号的傅里叶系数ck的通项如下图所示。
周期方波信号的傅里叶系数的通项如下图所示。
周期方波信号的三维频谱如下图所示。
最下面的横轴表示的是k，k=0，±1，±2，…，表示k的横轴上面的横轴单位是w0或者f0，即离散的点之间的距离是w0或者f0，该横轴的点则是kw0或者kf0，单位不同对应自变量就不同。纵轴表示ck。 - 周期矩形信号的频谱。
周期方波信号是周期矩形信号的的一种，周期方波信号的占空比为2。
假设周期矩形信号的幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n。
周期矩形信号的傅里叶系数如下图所示。
上图中的n表示占空比。可以将上图中的周期矩形信号的傅里叶系数进行如下图中的变形。
将上图中的式子带入到sinc函数中可以得出下图中的式子。
根据上图中的式子，幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的离散谱ck是对上图中的式子地采样，采样间隔是f0。
周期矩形信号的脉宽为0.5，周期分别为1、2、4，对应的占空比分别为1/2、1/4、1/8时的波形如下图所示。
上图中的横轴表示周期，纵轴表示幅度。
周期矩形信号的脉宽为0.5，周期分别为1、2、4，对应的占空比分别为1/2、1/4、1/8时的波形如下图所示。
上图中横轴表示k，间隔单位是f0，即采样点k和k+1之间的间隔是f0。
3、非周期信号的连续谱。
- 非周期矩形信号的离散谱。
周期矩形信号的傅里叶系数表达式，即离散谱，如下图所示。
非周期矩形信号的波形相当于是将周期信号的周期T趋于无穷的时候得到的。如果按照上图中的周期矩形信号的离散谱来进行分析的话，T趋于无穷大时，n也趋于无穷大，因此频谱的谱线间隔和长度都将趋近于零，如下图所示。
这样会对非周期矩形信号的分析造成不便，因此在分析非周期信号的时候一般不直接分析非周期矩形信号的傅里叶系数，即一般不讨论离散谱，而是进行某种变换之后研究连续谱。 - 非周期矩形信号的连续谱。
非周期矩形信号的一般使用ck/f0来进行描述的。由周期信号傅里叶系数的表达式可以得出下图中的式子。
从上图中可以看出ck/f0的取值就是对τsinc(τf)的平顶采样，采样间隔 为f0。
将幅度为1、脉宽τ=0.5、周期分别为1、2、4的周期矩形信号的 ck/f0阶梯状折线和离散谱画在一起，如下图所示。
从上图中可以看出，随着周期的增大，阶梯状折线逐渐逼近τsinc(τf)这条曲线，由于非周期矩形信号的周期趋于无穷，故可以理解为非周期矩形信号的连续谱就是τsinc(τf)这条曲线，该曲线如下图所示。
4、非周期信号的傅里叶变换。
- 矩形脉冲信号。
假设矩形脉冲信号幅度为1，脉冲宽度为τ，其图像及其傅里叶变换后的图像如下图所示。
傅里叶变换相当于是把时域下的信号变成频域下的信号，上图中的左边非周期矩形信号的图像是时域下的图像，横轴是时间，纵轴是幅度，右边的图是非周期矩形信号在频域下的图像，根据之前推到的非周期矩形信号的连续谱可以得知，该图像是一个sinc函数。因此非周期矩形信号的傅里叶变换是一个sinc函数。 - sinc脉冲信号。
假设sinc脉冲信号的函数是τsinc(τt)，其傅里叶变换是一个非周期矩形函数。如下图所示。
傅里叶变换具有一定的对称性，如果A函数是一个偶函数，A函数的傅里叶是B函数的话，B函数的傅里叶变换就是A函数（将B函数中的自变量f改成t，B函数就可以理解为从频域变成了时域，在做傅里叶变换变成了A函数，即将A函数中的自变量t改成f），如果是奇函数的话，也具有对称性，但和偶函数比起来不太一样。 - 单位冲激信号
单位冲激信号可以由了sinc脉冲信号τsinc(τt)，当τ->无穷的时候得到，其傅里叶变换也可由sinc脉冲信号的傅里叶变换，即非周期矩形信号也同样通过τ->无穷的时候得到，如下图所示。
由上图可以看出，单位冲激函数的傅里叶变换是一个直流信号函数。