题解 gdgzoi同余Problem G骰子

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桌面上有 \(2\) 只完全相同的骰子，定义一次操作如下：将桌子上的骰子全部抛出，然后去掉那些奇数点的骰子，如果桌子上还有骰子，则重复上面的操作。

求操作 \(n\) 次后，桌面上至少还有一个骰子的概率。

为了方便起见，你只需要输出概率对 \(19260817\) 取模的结果。

Input

\(1\) 行 \(1\) 个整数 \(n\)

保证 \(n\) 在 \(long\) \(long\) 范围内

Output

\(1\) 行 \(1\) 个结果 对 \(19260817\) 取模的结果

Sample Input

1

Sample Output

4815205

HINT

对于 \(40\) \(\%\) 的数据 : \(1\leq n\leq 1,000,000\)

对于 \(100\) \(\%\) 的数据 : \(n\) 在 \(long\) \(long\) 范围内

---

第一次扔骰子，有 \(\frac{3}{4}\) 概率至少还有一个骰子。

思路

很明显这道题就是要分析一个概率，最后再乘法逆元求模数

乘法逆元求模数比较简单，难点就在于求概率

首先我们先分析一下样例，样例抛了\(1\)次骰子，至少剩下一个骰子的概率为\(\frac{3}{4}\)

接下来我们来画个表来分析一下样例

情况	A骰子	B骰子	出现概率	剩余骰子数量	是否满足条件
1	奇数	偶数	\(\frac{1}{4}\)	\(1\)	√
2	偶数	奇数	\(\frac{1}{4}\)	\(1\)	√
3	偶数	偶数	\(\frac{1}{4}\)	\(2\)	√
4	奇数	奇数	\(\frac{1}{4}\)	\(0\)	×

所以说，总的出现概率就是\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

第二次投骰子时，情况如下

上次情况	本次情况	A骰子	B骰子	出现概率	剩余骰子数量	是否满足条件
1	1	无	偶数	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)	\(1\)	√
1	2	无	奇数	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)	\(0\)	×
2	3	偶数	无	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)	\(1\)	√
2	4	奇数	无	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)	\(0\)	×
3	5	奇数	偶数	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)	\(1\)	√
3	6	偶数	奇数	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)	\(1\)	√
3	7	偶数	偶数	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)	\(2\)	√
3	8	奇数	奇数	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)	\(0\)	×
4	9	无	无	\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{1}=\frac{1}{4}\)	\(0\)	×

所以说，总的出现概率就是\(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}\)

发现什么规律了吗?

我们发现，对于每种状态来说，它下一次所发生的状态与本次发生状态是相同的，如下图：

图中每一个节点就代表一种情况