codeforces 888G 题解

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题目大意： 有 $n$ 个点，每个点有一个权值，两个点之间边的长度为两点权值的异或值，求最小生成树的边权和。

题解

把 $\text{Boruvka}$ 算法拿来用，计算两个连通块的最短边时，分别维护出两块的 $01\text{trie}$，遍历其中一个就可以算出最短边，具体来说就是贪心，从最高位开始使每一位尽可能相同。然后合并两块时，将他们的 $\text{trie}$ 也合并起来，那么最后就会得到一棵包含所有数的 $\text{trie}$。

这种方法的问题在于，没办法每次都求出两两间最短边的长度，进一步的，就没法求出一个连通块连出去的最短边，但是提供了一个很好的思路，即只需要确定连通块的合并顺序，就容易求出答案了。

考虑包含所有数的那颗 $\text{trie}$，他的一个节点的子树就对应一个点集，容易发现，从下往上对于每个点合并他的左右子树，这种策略是最优的合并顺序，因为这样可以保证，每个连通块在合并时，一定是沿着最短的边与别人合并的。

于是每次只需要求左右子树的合并最短边即可，大力把左子树内的每个点丢到右子树内跑贪心即可，时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200010
#define inf 999999999
#define ll long long

int n,a[maxn];
struct node{
    
    
	int l,r,dep;
	node *ch[2];
	node(int Dep):l(inf),r(0),dep(Dep){
    
    ch[0]=ch[1]=NULL;}
}*root;
void insert(int x){
    
    
	node *now=root;
	for(int i=29;i>=0;i--){
    
    
		int c=a[x]>>i&1;
		if(!now->ch[c])now->ch[c]=new node(i-1);
		now=now->ch[c];
		now->l=min(now->l,x);
		now->r=max(now->r,x);
	}
}
int ask(node *now,int x){
    
    
	if(now->dep<0)return 0;
	int c=x>>(now->dep)&1;
	if(now->ch[c])return ask(now->ch[c],x);
	else return ask(now->ch[c^1],x)+(1<<(now->dep));
}
ll solve(node *now){
    
    
	if(now->ch[0]&&now->ch[1]){
    
    
		int mi=inf;
		for(int i=now->ch[0]->l;i<=now->ch[0]->r;i++)mi=min(mi,ask(now->ch[1],a[i]));
		return solve(now->ch[0])+solve(now->ch[1])+mi+(1<<now->dep);
	}
	if(now->ch[0])return solve(now->ch[0]);
	if(now->ch[1])return solve(now->ch[1]);
	return 0;
}

int main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+n+1);root=new node(29);
	for(int i=1;i<=n;i++)insert(i);
	printf("%lld",solve(root));
}