数据结构系列（５）树状结构

5树状结构

“树”是有一个或一个以上的节点组成，存在一个特殊的节点，称为树根。每个节点是一些数据和指针组合而成的记录。除了树根，其余节点可分为n>=0个互斥的集合，其中每一个子集合本身也是一种树状结构，即此根节点的子树。此外一棵合法的树，节点间可以互相连接，但不能形成无出口的回路。

5.1 专有名词介绍

1. 度数：每个节点所有子树的个数。
2. 层数：树的层数。
3. 高度：输的最大层数
4. 树叶或称终端节点：度数为零的节点就是树叶。
5. 父节点：每一个节点有连接的上一层节点
6. 子节点：每一个节点有连接的下一层节点。
7. 祖先和子孙：祖先是指从树根到该节点路径上所包含的节点，而子孙是在该节点往下追溯子树中的任一节点。
8. 兄弟节点：有共同父节点的节点。
9. 非终端节点：树叶以外的节点。
10. 同代：在同一棵中具有相同层数的节点。

5.2 二叉树

二叉树的特性：
1. 层数为i的树，他的节点数最多是$2^{i-1}(i>=0)$.
2. 度数为k的二叉树总节点数是$2^k-1$.
3. 对于任何非空二叉树T,如果$n_0$为树叶节点数，且度数为２的节点数是$n_2$,则有$n_0=n_2-1$
4. 高度为k的二叉树，总结点对少为k.

特殊二叉树

完全二叉树：

如果二叉树的高度为h，所含的节点数小于$2^h-1$,但其节点的编号方式如同高度为h的满二叉树一样，从左到右，从上到下的顺序一一对应。

严格二叉树：

二叉树中每一个非终端节点均有非空的左右子树。

5.3 二叉树的存储方式

二叉树的存储方式有很多，一般在数据结构的领域中习惯用链表来表示二叉树组织。用一位数组来表示时对树中间节点进行插入删除操作时，需要大量移动来反应节点的变动。

一维数组表式法
使用有序的一维数组来表示二叉树，首先可将此二叉树假想为一棵满二叉树，而且第K层具有２k-1个节点，他们按序存放在这个一维数组中。

链表表式法
由于二叉树最多只能有两个子节点，就是度数小鱼或等于２，而所谓链表表式法，就是利用链表来存储二叉树。就是运用动态分配内存的指针的方式来建立二叉树。
是用链表来表示二叉树的好处是节点的增加和删除操作相当容易，缺点是很难找到父节点，除非每一节点增加一个指向父节点的指针。

5.4二叉树的遍历

前序遍历：
是一种”中左右“的遍历顺序，也就是先从根节点遍历，再往左方移动，当无法继续时，继续向右方移动，接着再重复执行此步骤。
中序遍历：
是左中右的遍历顺序，也就是从树的左侧逐步向下方移动，知道无法移动，在访问此节点，并向右移动一个节点。如果无法再向右移动时，可以返回上层父节点，后右子树。

后序遍历：
后序遍历是左右中的遍历顺序，就是先遍历左子树，在便利右子树，最后遍历根节点，反复执行此步骤。

5.5线索二叉树

二叉树的存储方式，节点存储空间的浪费率可以从２／３降到１／２，对于一棵有n个节点的二叉树，实际上用来指向左右两节点的指针只有n-1个链接，另外的n+1个指针都是空连接。
所谓线索二叉树就是把这些空的链接加以利用，再指到树的其他节点，这些链接就称为线索。