6. 条件概率

条件概率

例1： 一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）

解： 由题意可知，样本空间为

S = {(兄，弟),(兄，妹),(姐，弟),(姐，妹)}

A = {(兄，妹),(姐，弟)，(姐，妹)}

B = {(姐，妹)}

由于事件 A 已经发生，所以这时实验的所有可能结果只有三种，而事件 B 包含的基本事件只占其中的一种，所以有

$P(B|A) = \frac{1}{3}$

$P(B|A)$ 表示 $A$ 发生的条件下， $B$ 发生的条件概率。

在这个例子当中，若不知道事件 $A$ 发生，

则事件 $B$ 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{4}$。

这里 $P(B)\neq P(B|A)$。

其原因在于事件 $A$ 的发生改变了样本空间。

使得它由原来的 $S$ 缩减为新的样本空间 $S_A=A$。

条件概率的图示分析：

$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$

理解为 B 在 A 中所占的比例。

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条件概率的定义

$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, P(A)\neq 0$

性质： $P(·|A)$ 是概率

（1）非负性： $P(B|A)\geq 0$；
（2）规范性： $P(S|A) = 1$；
（3）可列可加性： $B_1,B_2,...,B_iB_j \neq \emptyset, i\neq j, 则：$

$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i|A) = \sum_{i=1}^{\infty}P(B_i|A).$

$P(·|A)$ 具有概率的所有性质。

例如:

$P(B|A) = 1 - P(\overline{B}|A)$

$P(B\bigcup C|A) = P(B|A) + P(C|A) - P(BC|A)$

$B\supset C\implies P(B|A) \geq P(C|A)$

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例2：对某地区调查了1439人,研究吸烟与患呼吸道疾病之间的关系.数据如下：

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解： 在这 1439 人种，随机选一人，设 $A$ 表示吸烟， $B$ 表示患病。则：

$P(A) = \frac{725}{1439} = 0.504$，

$P(B) = \frac{394}{1439} = 0.274$，

$P(AB) = \frac{320}{1439} = 0.222$，

$P(B|A) = \frac{320}{725} = 0.441$，

$P(B|\overline{A}) = \frac{74}{714} = 0.104$

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乘法公式

当下面的条件概率都有意义的时候：

$P(AB) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)$

$P(ABC) = P(A)·P(B|A)·P(C|AB)$

$P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)·P(A_2|A_1)·P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1...A_{n-1})$

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例 3: $P(A) = \frac{1}{4},P(B|A) = \frac{1}{3},P(A|B) = \frac{1}{2}, 求P(A\bigcup B),P(\overline{A}|A\bigcup B)。$

解：

$P(AB) = P(A)·P(B|A) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

$P(AB) = P(A|B)·P(B) \implies P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{1}{6}$

$P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$

$P(\overline{A}|A\bigcup B) = 1 - P(A|A\bigcup B) = 1 - \frac{P(A)}{P(A\bigcup B)} = 1 - \frac{1/4}{1/3} = \frac{1}{4}$

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例4： 一盒中有5个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取3次.
（1）求前两次中至少有一次取到红球的概率；

（2）已知前两次中至少有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率；

（3）求第1，2次取到红球第3次取到白球的概率.

解：

$令 A_i = \{第 i 次取到红球\}，i = 1,2,3$
.
B = ｛前两次至少又一次取到红球｝，

C = ｛前两次恰有一次取到红球｝。

（1） $P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2}|\overline{A_1}) = 1 - \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{5}{6}$.

（2） $P(C|B) = 1 - P(\overline{C}|B) = 1 - \frac{P(B\overline{C})}{P(B)} = 1 - \frac{P(A_1A_2)}{P(B)} = \frac{2}{3}$.

（3） $P(A_1A_2\overline{A_3}) = P(A_1)·P(A_2|A_1)·P(\overline{A_3}|A_1A_2) = \frac{5}{9}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{7} = \frac{10}{63}$.

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例5： 某人参加某种技能考核，已知第 1 次参加能通过的概率为 60%；若第 1 次未通过，经过努力，第 2 次能通过的概率为 70%；若前二次未通过，则第 3 次能通过的概率为 80%。求此人最多 3 次能通过考核的概率。

解：

$令 A_i = \{第 i 次通过考核\}, i=1,2,3$

$A = {最多三次通过考核}$

$则 \overline{A} = \overline{A_1}~\overline{A_2}~\overline{A_3}$

$\begin{aligned} P(A) =& 1 - P(\overline{A}) = 1 - P(\overline{A_1}~\overline{A_2}~\overline{A_3}) \\ =& 1 - P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2}|\overline{A_1})·P(\overline{A_3}|\overline{A_1}~\overline{A_2}) \\ =& 1 - 0.4\times 0.3\times 0.2 = 0.976 \end{aligned}$

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