数据结构-二叉树基本知识

二叉树基本知识

本文主要介绍二叉树的基本概念和分类。如有不正确之处请多指正。

树的相关定义

什么是树

树是 N 个结点的有限集。 N = 0，表示空数。在任意一个非空树中：

1. 有且仅有一个特定的称为根的节点。
2. 当 n > 1 时，其余节点可分为 m (m > 0) 个互不相交的有限集，T1,T2,T3…Tm,其中每个集合本身又是一棵树，并且称为当前根的子树。

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结点的定义及分类

• 数的结点：是包含一个数据元素及若干指向其字数的分支。
• 度（Degree）： 结点拥有的子树称为结点的度（Degree）。
• 叶子结点（Leaf）： 度为 0 的结点称为叶子结点。
• 分支结点：度不为 0 的结点。也称为非终端结点或内部结点（除根结点外）
• 树的度： 树的度是树内各分支结点的度的最大值。

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结点间的关系

• 孩子&双亲： 结点的子树的根称为该节点孩子，相应的该结点称为孩子的双亲（Parent）。
• 兄弟（Sibling）：同一个双亲的孩子之间互相称为兄弟。
• 祖先：结点的祖先是从根到该节点所经历分支上的所有结点，这里注意从跟到某个特定的结点有且只有一条路径（原因在于数的定义中不相交的特点）。如上图 J 的祖先只有 E C A 而没有 F。
• 子孙：以某个结点为根的子树中的任意一个结点都成为改结点的子孙。如上图 B 的子孙有 D G H I。

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树的其他概念：

• 结点的层级（Level）：定义根为第一层，跟的孩子为第二层，孩子的孩子为第三层。一次类推。
• 树的深度（Depth）： 书中结点的最大层次为树的深度，也称为树的高度。注意区分度与深度。
• 有序树 & 无序树: 如果树中结点的各个子树看成从左到右是有次序的，不能互换的则概述称为有序树，否则为无序树。即左右子树（这里假设只有左右两个孩子），不能调换位置，如果调换位置则不再是原来的树。
• 森林： 若干个不相交的树的集合。

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树的三种表示方法：

1. 双亲表示法。
2. 孩子表示法。
3. 孩子兄弟表示法。

双亲表示法

在每个结点中，设有一个指示器指向其双亲结点到链表中的位置。数据结构为：

public class MNode<E> {
    private E data;//数据域
    private int parent;//双亲的位置
}

这种结构却可以轻松找出指定节点的父节点，但当要找出某节点的所有子节点需要遍历整个树，时间花费长。

孩子表示法

每个结点有多个指针域，其中每个指针域指向该结点子树的根节点。

由于上述两种方式不常用就不过多介绍。想知道详细的双亲表示法，孩子表示法表示一个树的代码请自行网上搜索或者参考： 数据结构与算法Java版——树的两种表现方式 。

孩子兄弟表示法：

这种数据存储方式最为常用：

任意一颗树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，他的右兄弟也是唯一的。我们设置一个指针，分别指向该节点的左孩子和右孩子 则这种表示法方式为孩子兄弟表示方法

代码表示如下

    class Node<T>{
        T data;
        Node<T> leftChild;
        Node<T> rightChild;
    }

树的常见类型

• 二叉树 (Binary Tree) ：是 n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根结点和两个互不相交的，分别称为改根节点的左子树和右子树的子树组成。

• 完全二叉树 (Complete Binary Tree) ： 具有 n 个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置相同，则该二叉树称为完全二叉树。 定义很繁琐但是要知道如何判断一个数是否是完全二叉树：

  • 叶子结点只能出现在最下边两层（不信你自己画画）。
  • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
  • 倒数第二层，若有叶子结点，则一定都在根节点右子树的的连续位置。
  • 如果结点的度为1，则该节点只有左孩子没有右孩子。即不存在只有右孩子的情况
  • 同样结点数的二叉树，完全二叉树深度最小。
  • 如果想判断一个数是不是完全二叉树，只需按照层级从左到右连续编号，如果编到最后一个节点前号码不连续了，则该树肯定不是完全二叉树。

• 满二叉树 (Full Binary Tree) ： 如果一个二叉树中所有分支的节点都存在左子树和右子树，且叶子都在同一层上，则改树为完全二叉树。满二叉树用数组表示方法最为合适，因为数组角标即为结点在二叉树中的位置。

• 二叉搜索树 (Binary Search Tree)： 二叉搜索树是一种特殊的二叉树，也可以称为二叉排序树，二叉查找树。除了具有二叉树的基本性质外，它还具备：

  • 树中每个节点最多有两个子树，通常称为左子树和右子树
  • 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
  • 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
  • 它的左右子树仍然是一棵二叉搜索树 (recursive)

如下图：