secp256k1&secp224k1椭圆曲线

1. 有限域内的椭圆曲线

1.1 椭圆曲线直观图形

实数域内的椭圆曲线 $y^2=x^3+7$的展示如下：

有限域内的椭圆曲线 $y^2=x^3+7$的展示如下（为有限域内离散的点）：

1.2 椭圆曲线上的点运算规则

根据《Elliptic Curves Number Theory And Cryptography 2n.pdf》书中2.2节The Group Law有，对于Weierstrass Equation形式表示的椭圆曲线 $y^2=x^3+Ax+B$，求曲线上两个点 $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)，且x_1!=x_2$，则有 $P_3=P_1+P_2=(x_3,y_3)$：
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$x_3=m^2-x_1-x_2$
$y_3=m(x_1-x_3)-y_1$

2. secp256k1椭圆曲线定义

Bitcoin比特币使用的是 secp256k1椭圆曲线（其中的SEC代表Standards for Efficient Cryptography，256代表有限域的位数为256位），其具体参数如下：

• 曲线方程式为： $y^2=x^3+7$（相当于Weierstrass Equation表示中的 $a=0,b=7$）
• 有限域为： $p=2^{256}-2^{32}-977$
• Base point为： $G= (79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798, 483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8)$
• Order为： $n=FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141$

$2^{256}$是个非常大的数，约等于 $10^{77}$，而整个银河系的原子数大约有 $10^{57}$个。一万亿台计算机每皮秒（ $10^{-12}$秒）执行一万亿次操作，持续运行一万亿年，总操作数仍将小于 $10^{56}$次。 A trillion computers doing a trillion operations every picosecond ( $10^{-12}$ seconds) for a trillion years is still less than $10^{56}$ operations.

$P=sG$，其中 $s\in[0,n)$为scalar私钥， $P=(x,y)$为公钥。
以 $P=(x, y) = (5CBDF0646E5DB4EAA398F365F2EA7A0E3D419B7E0330E39CE92BDDEDCAC4F9BC, 6AEBCA40BA255960A3178D6D861A54DBA813D0B813FDE7B5A5082628087264DA)$为例，在实际传输存储时，需要将P的x和y坐标序列化，有两种表示方式：

• 无压缩方式：以“04”（1字节）为首依次拼接x坐标（32字节）和y坐标值（32字节），共需要65字节。045CBDF0646E5DB4EAA398F365F2EA7A0E3D419B7E0330E39CE92BDDEDCAC4F9BC6AEBCA40BA255960A3178D6D861A54DBA813D0B813FDE7B5A5082628087264DA
• 压缩方式：若已知x坐标，y坐标只有两种可能——正数or负数（有限域内即为奇数or偶数），可增加标志位，若y为偶数，则以“02”开始；若y为奇数，则以“03”开始。后面紧接x坐标值即可。总共仅需33字节。025CBDF0646E5DB4EAA398F365F2EA7A0E3D419B7E0330E39CE92BDDEDCAC4F9BC

3. secp224k1椭圆曲线定义

根据《SEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters》，有secp224k1椭圆曲线参数如下：

• 曲线方程式为： $y^2=x^3+5$（相当于Weierstrass Equation表示中的 $a=0,b=5$）
• 有限域为： $p=2^{224} − 2^{32} − 2^{12} − 2^{11} − 2^9 − 2^7 − 2^4 − 2 − 1$
• Base point为： $G= ( A1455B33 4DF099DF 30FC28A1 69A467E9 E47075A9 0F7E650E B6B7A45C, 7E089FED 7FBA3442 82CAFBD6 F7E319F7 C0B0BD59 E2CA4BDB 556D61A5)$
• Order为： $n=01 00000000 00000000 00000000 0001DCE8 D2EC6184 CAF0A971 769FB1F7$

以下为《SEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters》中的secp系列曲线如下：

参考资料：
[1] 《The Orders of Elliptic Curves y2 = x3 + b, b ∈ F∗q》
[2] https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
[3] 《SEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters》