比特币学习1-椭圆曲线算法理解

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对称加密算法和非对称加密算法简介

原文地址：https://blog.csdn.net/yonggao023/article/details/80173950
作者：梦幻艾斯
备注：欢迎转载，请保留原文地址。

常用的加密算法可以分为对称加密和非对称加密。为什么会有两种算法呢？一种不能满足需求吗？

对称加密算法

对称算法在加密和解密过程中使用的密钥都是相同的,举个简单的例子:
我们使用最简单的对称算法–异或算法来模拟用户A向用户B发送加密信息的流程
假设m1是明文,k是密钥.m1异或k得到密文m2
1. A 将m2和k传给B;
2. B收到m2和k后进行异或操作获得明文m1

信息窃听问题：A和B是通过网络传输的，中间传输的数据可能会被其它人截获。由于异或算法是公开的，所以截获者很容易就能得到明文m1
为了解决这个密钥传输问题，牛人们发明了非对称算法

非对称加密算法

在对称算法中使用的加密密钥和解密密钥是相同的。但是在非对称加密算法中加密的密钥和解密的密钥是不一样的。通常我们把加密密钥称为公钥(可以公开给别人)，把解密密钥称为私钥。公钥加密的数据只有私钥才能解密。还是用上面的例子来模拟非对称加密传输流程：
1. A通过密钥生成算法生成公钥、私钥。
2. A将公钥发送给B
3. B用公钥将m1加密成密文m2
4. B将m2发送给A
5. A使用私钥解密m2得到m1

信息窃听问题：在这个过程中A和B传输的只有密文和公钥，由于密文只有私钥才能解密，所以即使有人截获信息也无法得到密文。
那么问题来了，A怎么将加密信息传输给B呢？

在RSA算法中私钥和公钥是可以互换的，即可以用公钥加密、私钥解密也可以用私钥加密、公钥解密。但是在其它非对称算法是不行的，比如椭圆曲线算法(反正我没找到椭圆曲线算法私钥加密的公式，谁找到了欢迎打脸)。虽然RSA可以互换但是还是要保持用公钥加密、私钥解密的方案。具体原因请看这篇文章
现在来回答A怎么将加密信息传输给B。
其实很简单，B生成一对公钥私钥，然后把公钥发给A。A用B的公钥对数据进行加密然后发送给B。B用自己的私钥解密。
这里我们得出一个结论：
非对称加密算法是为了解决对称算法
传输过程中被破解的问题
传输过程中被破解的问题
传输过程中被破解的问题

非对称加密算法特性(个人愚见，没有被大牛论证过)

都是在有限域里面取值，所以为了值不溢出都会有取模操作
一般的非对称算法体系都会包含3个算法
1. 密钥生成算法(生成公钥、私钥)
2. 加密解密算法(公钥加密、私钥解密)
3. 签名算法(私钥签名、公钥验证)
破解难度都是基于一个数学问题的破解，比如rsa的大质数分解问题、椭圆曲线算法曲线上离散对数求解难的问题。

椭圆曲线算法也具备上述特性

椭圆曲线算法简介

我们根据上面非对称加密算法特性来简单介绍下椭圆曲线算法

椭圆曲线取值的域

通常能用来进行加密运算的椭圆曲线的公式是长这样的：

$y^2 = x^3 +ax + b$

椭圆曲线取值的域就是线上的点。
密码学中，描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：
T=(p,a,b,G,n,h)。
（p 、a 、b 用来确定一条椭圆曲线，
G为基点，
n为点G的阶–nG等于无穷远点，
h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分）

比特币椭圆曲线的取值可以看这里

密钥生成算法

生成公式是K=kG,大写的K是公钥也是曲线上的一个点，小写的k是私钥，G是上面定义的曲线的基点。
kG = (G+G+G….+G)即k个G相加
这里简单介绍下椭圆曲线上的加法
我们习惯了有理数的方法1+1=2，但是不是所有的东西都是有理数。学过c++的同学应该都重写过类的加法操作，大家可以理解为椭圆曲线上的加法被重写了，它的规则和有理数的加法不一样。

//椭圆曲线的加法像这样
Point operator+(const Point& a, const Point& b)
    {
        //a 和b各种操作后返回了一个poin c
        return c;
    }

具体的加法规则是
任意取椭圆曲线上两点P、Q （若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R

从上面的加法规则中可以得出公钥K就是在曲线上折来折去得到的点。
密钥生成的过程我们可以开个脑洞，想象一下一个桌球台。有一个固定的点G。把桌球放到G点上，每次用球杆撞击球的方向是相同的。我们用不同的力度去撞击球。最后球会静止在桌球上的某一个点。这个点就是我们的公钥K，我们撞击的力度就是私钥k。当你知道G点和力度的时候很容易把球撞到公钥K的点。但是你知道公钥K的点和G点，你很难算出到底使用多大力度进行撞击。这就是椭圆曲线算法的破解难度。

加密解密算法

现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程：
1. 双方约定好一条加密的椭圆曲线Ep(a,b)，或者A选择一条椭圆曲线然后将参数传给B
2. 用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。
3. 用户A公钥K传给B
4. 用户B接到信息后，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r < n)
5. 用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。
6. 用户B将C1、C2传给用户A。
7. 用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。因为
C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
再对点M进行解码就可以得到明文。

签名验证算法

签名流程
1. 双方约定好一条加密的椭圆曲线Ep(a,b)，或者A选择一条椭圆曲线然后将参数传给B
2. 用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。
3. 生成随机数r，使得s1=rG(x,y)
4. 设消息M的哈希为h，得到s2=(h+xk)/r
5. A将M、s1、s2、公钥K传给B
6. B算出M的哈希h
7. B判断hG/s2 + xK/s2是否等于s1
8. 公式推导：hG/s2 + xK/s2=hG+xK/s2=(hG+xK)*r/(h+xk)=(hG+xkG)*r/(h+xk)=(h+xk)*Gr/(h+xk)=rG

全文完
参考资料：
精通比特币
 ECC加密算法入门介绍
 椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现