学习笔记：动态规划

学习笔记：动态规划

$\bullet$先来看一个问题：
小张现在有8个任务可选，每个任务都必须在规定的时间段完成不能多也不能少，而且每个任务都有对应的报酬如下图，问小张应如何选择才能拿到最多的报酬？
首先试试贪心能不能解决，怎么贪心呢？优先选报酬夺的？还是优先选时间短的？我们不妨来试试。优先选报酬多的，那么他就会选任务3和任务8，能得到12元；优先选时间短的，那么他就有很多选法，是不是报酬最多的也要看运气，所以贪心并不能解决这个问题。

$\bullet$那我们换种方法来解决这个问题吧，
首先，每个任务都有选和不选两种选择，我们从最后一个任务开始模拟这个过程。首先我们需要先用一个数组 $pre$[ ]，那么 $pre[i]$表示在所有编号小于 $i$的任务中，编号最接 $i$近且时间段与 $i$紧密相连（就是做完一个任务紧接着做下一个任务）的任务编号。那么这个数组就可以表示为下表：

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8
$pre[i]$	0	0	0	1	0	2	3	5

开始模拟选与不选的过程：首先我们用一个 $opt$[ ]数组， $opt[i]$表示第 $i$个任务能获得的报酬的最优解（此最优解不表示第 $i$个任务的报酬）

第8个任务有两种选择：选第8个任务，那么 $opt[8]=opt[pre[8]]+任务8报酬$，它表示如果选了第8个任务，也选了之前的某个任务，那么之前的某个任务就不能与第8个任务有时间冲突，所以这种情况下的第8个任务的报酬就是选了的之前某个任务的最优报酬+第8个任务的报酬；不选第8个任务，那么第8个任务的最优报酬就等于第7个任务最优报酬。为了便于理解，我画了一个图：
假设数组 $gain[i]$表示第 $i$个任务的最优报酬，那么上述过程就可以简化为下面这个方程：
$opt[i] =max \begin{cases} opt[pre[i]]+gain[i], & \text{选} \\ opt[i-1], & \text{不选} \end{cases}$此过程可递归实现，注意递归出口： $opt[0]=0,opt[1]=gain[1]$.

如果数据足够大的话，递归就不行了，我们再来看上面的那幅图：
注意到递归重复算了 $opt[5],opt[3]$，这无疑是对时间和空间的浪费，这种问题叫做重叠子问题，我们已经递归得算出来了 $opt[5]$和 $opt[3]$，那为何不存储下来，如果以后还要用到它们就可以直接取出来用就行了，这种方法就叫做记忆化存储。那我们就想办法优化一下，这次我们不从最后一个开始选了，我们就从第一个任务开始选，于是用一个循环就能解决问题（循环过程记忆化存储 $opt[i]$），时间复杂度为 $O(n)$。状态转移方程如下：
$opt[i] = \begin{cases} max(opt[pre[i]]+gain[i],opt[i-1] )&i>1 \\ gain[1]&i=1\\ 0&i=0 \end{cases}$
$\bullet$最后再来说一说动态规划题目得特点即基本思想：对于一个给定的问题，这个问题可以分解为若干性质相同或相似的子问题，且每个子问题都有其最优解的解决方法，那么这个大问题的最优解就可以由若干个子问题的最优解结合得到。对于上述问题，我之所以要先从最后一个任务来推，就是为了发现，这个大问题的最优解可以由它的子问题的最优解来得到，并且还发现了重叠子问题，这时就需要记忆化存储，一旦某一个子问题的最优解已解出，就需要将其记忆化存储下来，以便下次再遇到同一个子问题就可以直接查表，从而减少时间和空间复杂度。所以动态规划常用于有重叠子问题和最优子结构的问题中。 当然动态规划不常用递归来做，一旦求出了状态转移方程就可以用迭代来做。

$\bullet$如何发现一个问题是否能用动态规划来做呢，首先要明白问题的最优解结构，以及子问题的最优解结构，如果它们的最优解结构相似或者相同的话，递归的模拟一下由大问题转换为子问题的过程，看是否有重叠子问题以及递归出口等。最后再总结出来状态转移方程就好了。

之后再补上例题。。。。。

$\bullet$来个简单的例题：
在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如图所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。
Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

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状态转移方程：

#include <stdio.h>
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
int mp[maxn][maxn];

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                scanf("%d",&mp[i][j]);
            }
        }
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            for(int j=1;j<=i;j++)
            mp[i][j]+=max(mp[i+1][j],mp[i+1][j+1]);
        }
        printf("%d\n",mp[1][1]);
    }
    return 0;
}