动态规划笔记(二)

题目：小兵向前冲
题目描述：N*M的棋盘上，小兵要从左下角走到右上角，只能向上或则向右走，问由多少种走法。

• 套路：计数问题
  • 暴力搜索(回溯法)
  • F(n,m)表示棋盘大小为n*m时走法数量
  • $F(n,m) = F(n,m-1) + F(n-1,m) ~if ~n*m >0,otherwise~ F(n,m) = 1$
  • $for~~i<-~ ~2~~ to~n$
    • $for~~ j<-~~2 ~~to ~~m$

#include <iostream>
using namespace std;
int forward(int n, int m)
{
    if (n == 0 || m == 0)
    { //棋盘都没有走啥？
        return 0;
    }
    if (n == 1 || m == 1) //条状棋盘
    {
        return 1;
    }
    return forward(n, m - 1) + forward(n - 1, m); //4*4 <-- 4*3 || 3*4
}
int main()
{
    cout<<forward(2,3);
    return 0;
}

要是小兵可以走两步呢?
修改代码：

return forward(n, m - 1) + forward(n - 1, m) +
       forward(n, m - 2) + forward(n - 2, m);
        //4*4 <-- 4*3 || 3*4 || 4*2 ||2*4

拓展

组合数的递推公式
$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$

#include <iostream>
using namespace std;
int nCr(int n, int m) //组合数
{
    if(n < m){
        return 0;
    }
    if (m == 0)
    {
        return 1;
    }
    return nCr(n-1,m-1) + nCr(n-1,m);
}
int main()
{
    cout << nCr(3,2);
    return 0;
}

可以类比于棋盘，只可以往右上角走或者往上走，问有多种解法。这就是组合数的物理意义。要是(n,m)这个格子不能走呢？那直接让 $F(n,m)=0$。