1. LDA的思想
LDA线性判别分析也是一种经典的降维方法，LDA是一种监督学习的降维技术，也就是说它的数据集的每个样本是有类别输出的。这点和PCA不同。PCA是不考虑样本类别输出的无监督降维技术。LDA的思想可以用一句话概括，就是“投影后类内方差最小，类间方差最大”。什么意思呢？ 我们要将数据在低维度上进行投影，投影后希望每一种类别数据的投影点尽可能的接近，而不同类别的数据的类别中心之间的距离尽可能的大。
可能还是有点抽象，我们先看看最简单的情况。假设我们有两类数据分别为红色和蓝色，如下图所示，这些数据特征是二维的，我们希望将这些数据投影到一维的一条直线，让每一种类别数据的投影点尽可能的接近，而红色和蓝色数据中心之间的距离尽可能的大。
上图中提供了两种投影方式，哪一种能更好的满足我们的标准呢？从直观上可以看出，右图要比左图的投影效果好，因为右图的黑色数据和蓝色数据各个较为集中，且类别之间的距离明显。左图则在边界处数据混杂。以上就是LDA的主要思想了，当然在实际应用中，我们的数据是多个类别的，我们的原始数据一般也是超过二维的，投影后的也一般不是直线，而是一个低维的超平面。
2.实例结合源码
导包
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
X,y = datasets.load_iris(True)
X[:5]
array([[5.1, 3.5, 1.4, 0.2],
[4.9, 3. , 1.4, 0.2],
[4.7, 3.2, 1.3, 0.2],
[4.6, 3.1, 1.5, 0.2],
[5. , 3.6, 1.4, 0.2]])
#特征值和特征向量 solver='eigen'/svd
lda = LinearDiscriminantAnalysis(solver='eigen',n_components=2)
X_lda = lda.fit_transform(X,y)
X_lda[:5]
array([[6.01716893, 7.03257409],
[5.0745834 , 5.9344564 ],
[5.43939015, 6.46102462],
[4.75589325, 6.05166375],
[6.08839432, 7.24878907]])
源码截图
def _solve_eigen(self, X, y, shrinkage):
共分为五步
#1、总的散度矩阵
#协方差X.T 等同rowvar=False,源码中有偏差值bias=1
St = np.cov(X,rowvar=False,bias=1)
St
array([[ 0.68112222, -0.04215111, 1.26582 , 0.51282889],
[-0.04215111, 0.18871289, -0.32745867, -0.12082844],
[ 1.26582 , -0.32745867, 3.09550267, 1.286972 ],
[ 0.51282889, -0.12082844, 1.286972 , 0.57713289]])
#2、类内的散度矩阵
# Scatter 散点图，within(内)
Sw = np.full(shape = (4,4),fill_value=0,dtype = np.float64)
for i in range(3):
Sw += np.cov(X[y == i],rowvar=False,bias=1)
Sw/=3
Sw
array([[0.259708 , 0.09086667, 0.164164 , 0.03763333],
[0.09086667, 0.11308 , 0.05413867, 0.032056 ],
[0.164164 , 0.05413867, 0.181484 , 0.041812 ],
[0.03763333, 0.032056 , 0.041812 , 0.041044 ]])
# 3、计算类间的散度矩阵
#Scatter between
Sb = St -Sw
Sb
array([[ 0.42141422, -0.13301778, 1.101656 , 0.47519556],
[-0.13301778, 0.07563289, -0.38159733, -0.15288444],
[ 1.101656 , -0.38159733, 2.91401867, 1.24516 ],
[ 0.47519556, -0.15288444, 1.24516 , 0.53608889]])
# scipy 这个模块下的线性代数子模块
from scipy import linalg
# 4、特征值 和 特征向量
eigen,ev = linalg.eigh(Sb,Sw)
print(eigen )
print( ev)
[-1.84103303e-14 1.18322589e-14 2.85391043e-01 3.21919292e+01]
[[ 1.54162331 -2.82590065 0.02434685 0.83779794]
[-2.49358543 1.05970269 2.18649663 1.55005187]
[-2.86907801 1.01439507 -0.94138258 -2.22355955]
[ 4.58628831 0.45101349 2.86801283 -2.83899363]]
ev= ev[:,np.argsort(eigen)[::-1]]
ev
array([[ 0.83779794, 0.02434685, -2.82590065, 1.54162331],
[ 1.55005187, 2.18649663, 1.05970269, -2.49358543],
[-2.22355955, -0.94138258, 1.01439507, -2.86907801],
[-2.83899363, 2.86801283, 0.45101349, 4.58628831]])
# 5、筛选特征向量 ，进行矩阵运算
X.dot(ev[:,:])[:5]
array([[ 6.01716893, 7.03257409, -9.19277808, -3.96472168],
[ 5.0745834 , 5.9344564 , -9.1574493 , -3.02625362],
[ 5.43939015, 6.46102462, -8.48176814, -3.54638757],
[ 4.75589325, 6.05166375, -8.10226933, -4.02500696],
[ 6.08839432, 7.24878907, -8.80421775, -4.36824255]])
3.LDA与PCA比较
相同点
1）两者均可以对数据进行降维。
2）两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想。
3）两者都假设数据符合高斯分布【正态分布】。
不同点
1）LDA是有监督的降维方法，而PCA是无监督的降维方法
2）LDA降维最多降到类别数k-1的维数，而PCA没有这个限制。
3）LDA除了可以用于降维，还可以用于分类。
4）LDA选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。
