CF1C

CF第一场比赛的最后一题居然是计算几何.
这道题的考点也是比较多,所以来写一篇题解.

• 前置芝士

  1.平面直角坐标系中两点距离公式:\(l=\sqrt{(X_1-X_2)^2+(Y_1-Y_2)^2}\)
  2.海伦公式:在知道三边时用于计算三角形面积\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)(其中\(a,b,c\)为三角形三边,\(p=\frac{a+b+c}{2}\))
  3.外接圆半径公式:\(R=\frac{abc}{4S}\)
  4.解三角形
  (知道三边求角度):
  \(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
  \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
  \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
  再将\(\cos A,\cos B,\cos C\)带入\(\arccos()\)求出角度
  (知道两边一夹角求第三边)
  \(c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}\)
  5.欧几里得算法(gcd):看起来和这题没什么关系,具体后面会讲到.

• 具体做法

  先看一张图:
  
  在图中的A,B,C为给出的点,可以发现这个正多边形与这个三角形的外接圆相同,圆心为O,AO=BO=CO,知道外接圆半径公式后可以求出AO,BO,CO,在会解三角形后可以得出\(\angle AOB\),\(\angle BOC\),以及\(\angle AOC\)(指图中大于\(180^\circ\)的那个角).可以发现这三个角存在一定的数量关系,及这三个角都可以表示为一个角的整数倍,及相邻黄色半径的夹角,设这个角为\(\angle\alpha\),于是图中的\(\angle AOB=3*\angle\alpha\),\(\angle BOC=2*\angle\alpha\),\(\angle AOC=6*\angle\alpha\),于是\(\angle\alpha=gcd(\angle AOB,gcd(\angle BOC,\angle AOC))\),角度知道后对于每个小三角形的三边都知道了,三角形个数也知道了,就可以求出总面积了.

• 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi=3.1415926;
double mod(double a,double b)//小数取模
{
    return a-(int)(a/b)*b;
}
double gcd(double x,double y)//小数gcd
{
    if(y<=0.0001)return x;
    return gcd(y,mod(x,y));
}
double x,y,x2,y2,x3,y3;
int main()
{
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&x2,&y2,&x3,&y3);
    //计算三角形三条边长
    double a=sqrt((x-x2)*(x-x2)+(y-y2)*(y-y2));
    double b=sqrt((x-x3)*(x-x3)+(y-y3)*(y-y3));
    double c=sqrt((x2-x3)*(x2-x3)+(y2-y3)*(y2-y3));
    double p=(a+b+c)/2;
    double r=(a*b*c)/(4*sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)));//通过r=(abc)/(4s)得出外接圆半径
    //分别求出以三条边为低，外接圆半径为腰的三角形的顶角角度
    double angle1=acos(1-(a*a)/(2*r*r));
    double angle2=acos(1-(b*b)/(2*r*r));
    double angle3=2*pi-angle1-angle2;
    double angle=gcd(angle1,gcd(angle2,angle3))/pi*180;//题目所示的以正多边形边长为低接圆半径为腰的三角形的顶角角度
    double side=sqrt(2*r*r-2*r*r*cos(angle/180*pi));//求出正多边形的边长
    double P=(r*2+side)/2;
    double S=sqrt(P*(P-r)*(P-r)*(P-side))/*三角形面积*/*(360/angle)/*三角形个数*/;//计算面积
    printf("%.6lf",S);//保留6位小数输出
    return 0;
}