[WC2014]紫荆花之恋 解题报告 (动态点分治)
题意
一棵带权树, 每个点有一个属性 \(r_i\),
两个节点 \(i,j\) 成为朋友当且仅当 \(dis(i,j) \le r_i + r_j\).
树上原来没有节点, 每向树上加入一个节点后, 求树上总共有多少对朋友, 强制在线.
思路
一
考虑树的形态固定时应该怎么做.
考虑点分治.
对于每个重心 \(u\) , 设 \(i,j\) 在它的管理范围内, 且在两棵不同的子树内,
则 \(dis(i,j) \le r_i + r_j\) 可变为 \(dis(i,u) + dis(j,u) \le r_i + r_j\),
即求满足 \(dis(j,u)-r_j \le r_i-dis(i,u)\) 的点对个数.
按照点分治的套路, 设 \(ft[u]\) 为点 \(u\) 在点分树上的父亲, 对每个点维护两个 \(vector\)
\(v1[u]\) : \(u\) 的管理范围内的节点, 按照到 \(u\) 的距离 (从小到大) 排序.
\(v2[u]\) : \(u\) 的管理范围内的节点, 按照到 \(ft[u]\) 的距离 (从小到大) 排序.
然后直接点分治就行了.
二
现在, 树的形态是不固定的.
如果没有强制在线的话, 可以先把树建出来后建好点分树, 按照一般的动态点分治来写就好了.
动态点分治不能处理 树形态发生改变 的情况, 是因为树的形态改变会导致重心的改变, 那么点分树 树高为 \(\log n\) 的优美性质就不存在了, 从而会导致复杂度 (时间和空间) 的退化.
那为了防止复杂度的退化, 我们可以 动态维护重心, 也就是当原来的重心和现在的重心偏离到一定规模时, 重新做一遍点分治, 重构点分树.
那么, 我们考虑一下, 为了进行以上的操作, 需要维护什么东西.
首先, 由于树上的点是一个一个插入的, 而 \(vector\) 不支持插入操作, 所以 \(vector\) 必须被换掉, 换成一个支持排序, 插入的数据结构 (删除的话其实不是刚需, 因为重构点分树时直接清空就好了).
这里我们选择用 平衡树. ( \(set\) 本质上就是一个平衡树 (红黑树), 并且常数比较大, 所以这里我们不用它).
光有平衡树还不够, 因为当重构点分树时, 我们不可能每次都对点分树进行重构, 这样时间复杂度会达到 \(O(n^2 \log n)\), 所以我们每次只能重构点分树的一个子树, 那么我们就还需要记录 每个点在点分树中的子孙, 这个的话用个 \(vector\) 就行了.
现在还剩下一个问题, 如何判断什么时候需要重构点分树?
我们可以对每个点记录一个 \(sz\), 表示它的点分树的子树大小,
再定义一个 $\alpha \in (0.5,1) $, 当存在点 \(u\) 满足 \(sz[u] > \alpha \times sz[ft[u]]\) 时, 就重构 \(ft[u]\) 的子树.
那么每次我们找到最高的满足上述条件的点, 然后重构它的子树就好了, \(\alpha\) 的话取 \([0.75,0.85]\) 左右比较好.
至于平衡树, 一开始我是写的 \(treap\), 但是太慢了, \(T\) 4个点 (听说指针板的 \(treap\) 更快, 但我不会),
后来换成了替罪羊树就过了.
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define pb push_back
#define sz size
#define rfs(x) sz[(x)]=sz[ls[(x)]]+sz[rs[(x)]]+num[(x)]
using namespace std;
const int _=1e5+7;
const int __=1e7+7;
const int L=17;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll mod=1e9;
bool be;
int ty,n,f[_][L+7],dep[_],dis[_],ft[_],q[_],r[_]; // 点分治, lca
ll ans;
int rt1[_],rt2[_],ls[__],rs[__],val[__],sz[__],num[__],stk[__],cnt; // 1: to self 2: to father 平衡树
int ddis[_],ssz[_],rt,minx; // 点分治
int lst[_],nxt[2*_],to[2*_],len[2*_],tot; // 建边
bool exi[_],vis[_]; // 点分治
vector<int> vec[_];
db ar=0.76,ra=0.76;
bool en;
int gi(){
char c=getchar(); int x=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9'){ x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
return x;
}
void pu(ll x){
if(!x){ putchar('0'); return; }
ll y=1;
while(y<=x) y=(y<<3)+(y<<1);
while(y>1){ y/=10; putchar(x/y+'0'); x%=y; }
}
void add(int x,int y,int w){ nxt[++tot]=lst[x]; to[tot]=y; len[tot]=w; lst[x]=tot; }
int Lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=L;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=L;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i]){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
int dist(int x,int y){ return dis[x]+dis[y]-2*dis[Lca(x,y)]; }
int seq[__],p;
void get(int u){
if(ls[u]) get(ls[u]);
seq[++p]=u;
if(rs[u]) get(rs[u]);
}
void arrange(int &u,int l,int r){
if(l>r){ u=0; return; }
int mid=(l+r)>>1;
u=seq[mid];
arrange(ls[u],l,mid-1);
arrange(rs[u],mid+1,r);
sz[u]=sz[ls[u]]+sz[rs[u]]+num[u];
}
void rebuild(int &u){
p=0;
get(u);
arrange(u,1,p);
}
void insert(int &u,int w,bool fl){
if(u){
sz[u]++;
bool flag=0;
if(val[u]==w){ num[u]++; exi[u]=1; }
else if(val[u]>w){
if(!fl&&(db)(sz[ls[u]]+1)>sz[u]*ra) flag=1;
insert(ls[u],w,fl|flag);
}
else{
if(!fl&&(db)(sz[rs[u]]+1)>sz[u]*ra) flag=1;
insert(rs[u],w,fl|flag);
}
if(flag) rebuild(u);
}
else{
u=stk[cnt--];
val[u]=w;
sz[u]=num[u]=1;
ls[u]=rs[u]=0;
}
}
void clear(int &u){
if(ls[u]) clear(ls[u]);
if(rs[u]) clear(rs[u]);
stk[++cnt]=u;
u=0;
}
int query(int u,int w){
int res=0;
while(u){
if(val[u]==w){ res+=sz[ls[u]]+num[u]; break; }
else if(val[u]>w) u=ls[u];
else{ res+=sz[ls[u]]+num[u]; u=rs[u]; }
}
return res;
}
int run(int x,int &t){
int len,u=x,fa=ft[u],res=0;
insert(rt1[x],-r[x],0);
vec[x].pb(x);
while(fa){
len=dist(fa,x);
res+=query(rt1[fa],r[x]-len)-query(rt2[u],r[x]-len);
insert(rt1[fa],len-r[x],0);
insert(rt2[u],len-r[x],0);
vec[fa].pb(x);
if((db)vec[u].sz()>vec[fa].sz()*ar) t=fa;
u=ft[u]; fa=ft[u];
}
return res;
}
int que[_],t;
void g_rt(int u,int fa,int sum){
//printf(" u: %d\n",u);
int maxn=0; que[++t]=u;
ssz[u]=1;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(exi[v]&&!vis[v]&&v!=fa){
ddis[v]=ddis[u]+len[i];
g_rt(v,u,sum);
ssz[u]+=ssz[v];
maxn=max(maxn,ssz[v]);
}
}
maxn=max(maxn,sum-ssz[u]);
if(maxn<minx){ minx=maxn; rt=u; }
}
void count(int u,int fa){
que[++t]=u;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i])
if(!vis[to[i]]&&exi[to[i]]&&to[i]!=fa){
ddis[to[i]]=ddis[u]+len[i];
count(to[i],u);
}
}
void calc(int u){
t=0;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i])
if(!vis[to[i]]&&exi[to[i]]){
ddis[to[i]]=len[i];
count(to[i],0);
}
for(int i=1;i<=t;i++){
insert(rt1[u],ddis[que[i]]-r[que[i]],0); // 区分 que 和 q
vec[u].pb(que[i]);
}
insert(rt1[u],-r[u],0); // 记得把自己加上去
vec[u].pb(u);
}
void pdiv(int u,int lrt,int sum){
minx=inf; t=0;
g_rt(u,0,ssz[u]<ssz[lrt] ?ssz[u] :sum-ssz[lrt]);
if(lrt){
if(ddis[u]>=0){
for(int i=1;i<=t;i++){
insert(rt2[rt],ddis[que[i]]-r[que[i]],0);
}
}
else{
for(int i=1;i<=t;i++){
insert(rt2[rt],dist(que[i],lrt)-r[que[i]],0);
}
}
}
sum=ssz[u]; ft[rt]=lrt; vis[rt]=1; u=rt;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i]){
//printf("%d\n",u);
if(!vis[to[i]]&&exi[to[i]]){
ddis[to[i]]=len[i];
pdiv(to[i],u,sum);
}
}
calc(u);
vis[u]=0;
}
void adj(int u,int x){
if(!x) return;
int top=0;
for(int i=0;i<(int)vec[x].sz();i++) q[++top]=vec[x][i];
for(int i=1;i<=top;i++){ // 清空
exi[q[i]]=1;
if(rt1[q[i]]) clear(rt1[q[i]]);
if(rt2[q[i]]) clear(rt2[q[i]]);
vector<int>().swap(vec[q[i]]);
}
ddis[x]=-1;
ssz[ft[x]]=0;
pdiv(x,ft[x],top);
//puts("!!!");
for(int i=1;i<=top;i++) ssz[q[i]]=ddis[q[i]]=exi[q[i]]=0;
}
int main(){
//freopen("x.in","r",stdin);
//freopen("x.out","w",stdout);
cin>>ty>>n; int c,x; ll a;
clock_t st=clock();
for(int i=1;i<=__-7;i++) stk[i]=i; cnt=__-7;
for(int i=1;i<=n;i++){
a=(ll)gi(); c=gi(); r[i]=gi();
x=0;
a^=ans%mod;
f[i][0]=ft[i]=(int)a;
for(int k=1;k<=L;k++)
f[i][k]=f[f[i][k-1]][k-1];
dep[i]=dep[ft[i]]+1;
dis[i]=dis[ft[i]]+c;
add(i,ft[i],c);
add(ft[i],i,c);
ans+=run(i,x);
pu(ans); putchar('\n');
adj(i,x);
}
//printf("\nused time: %.2lfs\n",(db)(clock()-st)/CLOCKS_PER_SEC);
//printf("\nused space: %.2lfMB\n",(&en-&be)/(1<<20)*1.0);
return 0;
}