近期做过的码量最大的一题 (当然也是我写丑了....)
题意
有一个 \(n\) 个节点的树 (\(n \le 10^5\)), 每个节点为黑色或白色.
有 \(m\) 个操作 (\(m \le 5 \times 10^5\)), 操作有两种,
- 将点 \(x\) 的的颜色翻转.
- 查询树上距离最远的黑色点对之间的距离.
思路
首先, 如果没有修改操作的话, 就是一个裸的点分治 (点分治学习笔记).
有修改操作, 那就 动态点分治.
动态点分治的基本思路是 (个人总结的) : 由于树的结构不会变化, 所以可以先找出重心, 并构建点分树 (一个连接每一层重心的树), 然后维护点分治中需要知道的数据, 避免了进行递归查找重心带来的时间浪费.
基本思路是简单的, 困难的是归纳出需要知道的数据并对它们进行维护.
(注 : 下文中如果没有特别说明, 则 "儿子", "子树", "父亲", "距离" 等名词都是指在原树上的.)
这道题, 我们在点分治过程中, 对每一个点需要知道的数据为 :
以它为重心时, 在它 管辖范围内的黑色节点 到它的 距离最大值和次大值, 称为数据 1.
以它为重心时, 它的管辖范围内的所有点到上一层重心 (即它在点分树上的父亲) 的距离, 称为数据 2.
这两个数据的关系是 :
一个点把自己的 数据 2 中的最大值 贡献给 点分树上的父亲, 点分树上的父亲 根据每个儿子贡献出来的最大值, 得到自己 数据 1 的最大值和次大值.
显然, 在得到 最大值和次大值 的过程中, 我们需要一个支持排序的数据结构, 这里我们选择使用 堆.
刚才我们提到的 点分树, 有一个比较显然的性质 : 它的树高是 \(\log n\) 级别的.
那么我们就可以在修改一个节点时, 依次维护它的每一个祖先的数据, 并且只有 \(O(\log n)\) 的时间复杂度.
但是, 在维护过程中, 我们需要用到删除操作, 而堆本身是不支持删除操作的.
我们可以使用一个小技巧 : 把一个堆 一分为二, 一个是 排序堆, 一个是 删除堆.
当我们需要删除某个值的时候, 只需要把这个值 加入删除堆里,
在取最大值时, 若 排序堆 和 删除堆 的 堆顶元素相同, 就意味着这个元素已经被删除了, 把它们双双弹出.
这样, 我们就得到了一个时间复杂度为 \(O(n \log^2 n)\) 的算法, 并且由于堆 (优先队列) 的使用, 会有比较大的常数.
作者的代码在洛谷上会 \(TLE\) 一个点, 在 bzoj 上可以通过. 并且代码比较丑陋, 不建议看代码理解. 实在想看代码的话可以去看洛谷的第一篇题解.
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int _=1e5+7;
const int __=2e5+7;
const int L=20;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct hep{
priority_queue<int> A,B;
void push(int x){ A.push(x); }
void del(int x){ B.push(x); }
int top(){
while(!A.empty()&&!B.empty()&&A.top()==B.top()){ A.pop(); B.pop(); }
return A.empty() ?-1 :A.top();
}
int sec(){
int x=top();
if(x==-1) return x;
A.pop();
int y=top();
A.push(x);
return y;
}
}h1[_],h2[_],ans;
int n,m,dep[_],f[_][L+7],dis[_],sz[_],rt,minx=inf,ft[_],lt[_];
int lst[_],nxt[__],to[__],tot;
bool vis[_],sta[_];
int gi(){
char c=getchar(); int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){ f=c=='-'?-1:1; c=getchar(); }
while(c>='0'&&c<='9'){ x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
return x*f;
}
void add(int x,int y){ nxt[++tot]=lst[x]; to[tot]=y; lst[x]=tot; }
int Lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=L;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=L;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i]){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
int dist(int x,int y){ return dep[x]+dep[y]-2*dep[Lca(x,y)]; }
void idk(int u,int fa){
dep[u]=dep[fa]+1;
f[u][0]=fa;
for(int i=1;i<=L;i++)
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(v==fa) continue;
idk(v,u);
}
}
void pre(int u,int fa,bool id){
if(id) h1[rt].push(dis[u]+1);
sz[u]=1; dis[u]=dis[fa]+1;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(v==fa||vis[v]) continue;
pre(v,u,id);
sz[u]+=sz[v];
}
}
void g_rt(int u,int fa,int sum){
int maxn=sum-sz[u];
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(v==fa||vis[v]) continue;
g_rt(v,u,sum);
maxn=max(maxn,sz[v]);
}
if(maxn<minx){ minx=maxn; rt=u; }
}
void upd(int u,int id){
int t1=h2[u].top(),t2=h2[u].sec();
if(id){
if(t1==-1);
else if(t2==-1) ans.push(0);
else ans.push(t1+t2);
}
else{
if(t1==-1);
else if(t2==-1) ans.del(0);
else ans.del(t1+t2);
}
}
void init(int u,int lrt){
minx=inf;
pre(u,0,0);
g_rt(u,0,sz[u]);
//printf("u: %d rt: %d dis[rt]: %d\n",u,rt,dis[rt]);
dis[rt]= lrt ?dis[rt] :-1;
ft[rt]=lrt;
lt[rt]=dis[rt]+1; // 因为此时的 dis 是到 lrt 的子节点的距离, 所以要加上 1
pre(rt,0,1);
h2[lrt].push(h1[rt].top());
vis[rt]=1; u=rt;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(vis[v]) continue;
init(v,u);
}
vis[u]=0;
h2[u].push(0);
upd(u,1);
}
void modify(int u){
sta[u]^=1;
int len=lt[u],fa=ft[u],t=u;
upd(u,0);
//printf("%d %d\n",h2[u].top(),h2[u].sec());
if(sta[u]){ h2[u].del(0); }
else h2[u].push(0);
upd(u,1);
while(fa){
int top=h1[u].top(),sec=h2[fa].sec();
bool f1= len>=top,f2= len>=sec;
if(f1){
if(f2) upd(fa,0);
h2[fa].del(top);
if(sta[t]){ h1[u].del(len); h2[fa].push(h1[u].top()); }
else{ h1[u].push(len); h2[fa].push(len); }
if(f2) upd(fa,1);
}
else{
if(sta[t]) h1[u].del(len);
else h1[u].push(len);
}
u=ft[u]; fa=ft[u];
len=dist(t,fa);
}
}
char ss[_];
void run(){
m=gi(); char c; int x;
for(int i=1;i<=m;i++){
//gets(ss);
c=getchar();
//printf("%s %c\n",ss,c);
if(c=='G') printf("%d\n",ans.top());
else{
x=gi();
//printf("x: %d\n",x);
modify(x);
//puts("!!!");
}
}
}
int main(){
//freopen("x.in","r",stdin);
//freopen("x.out","w",stdout);
n=gi(); int x,y;
for(int i=1;i<n;i++){
x=gi(); y=gi();
//printf("%d %d\n",x,y);
add(x,y);
add(y,x);
}
dis[0]=-1;
idk(1,0);
init(1,0);
run();
return 0;
}