前几天学习了一下扩展拉格朗日反演（因为模拟赛考了），推了一下点双和边双图的计数，记录一下。
前置技能：无向连通图计数
设有标号无向图的 egf 为 \(F(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{f_ix^i}{i!}\)，容易知道 \(f_i=2^{n\choose 2}\)，则有标号连通无向图的 egf 满足 \(G=\ln F\)。
边双连通图
首先设有根连通无向图的指数生成函数是 \(D(x)\)，有根边双连通图的指数生成函数是 \(B(x)\)。
用 \(B\) 来表示 \(D\)：假设根所在边双大小 \(n\)，其egf为 \(\frac{b_nx^n}{n!}\)，而对于其相邻的边，对于其中一条边，它挂着一个连通无向图，接在边双的某个点上，所以得到它的egf为 \(nD(x)\)；若干边无序自由排列，故邻边的egf是 \(\exp(nD(x))\)。
枚举大小求和得 \[D(x)=\sum_{n\ge 1} \frac{b_nx^n\exp(nD(x))}{n!}=B(x\exp(D(x)))\]
设 \(F(x)=x\exp(D(x))\) 则 \(D(x)=B(F(x))\)；
两边对 \(F(x)\) 作复合逆得 \(B(x)=D(F^{-1}(x))\)。
有扩展拉格朗日反演公式如下：
\[[x^n]A(B^{-1}(x))=\frac{1}{n} [x^{n-1}]A'(x)(\frac{x}{B(x)})^n\]
代入可得 \([x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]D'(x)(\frac{x}{F(x)})^n\)，继续化简可得
\[[x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]D'(x)\exp(-nD(x))\]
我们可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度求得 \(B(x)\) 的一项系数，注意是有根边双的egf，最后要乘一个 \(n!\) 和除以一个 \(n\)。