一、 问题描述
给定 n 个作业的集合 j = {j1, j2, …, jn}。每一个作业 j[i] 都有两项任务分别在两台机器上完成。每一个作业必须先由机器1 处理，然后由机器2处理。作业 j[i] 需要机器 j 的处理时间为 t[j][i] ，其中i = 1, 2, …, n, j = 1, 2。对于一个确定的作业 调度，设F[j][i]是作业 i 在机器 j 上的完成处理的时间。所有作 业在机器2上完成处理的时间之和 f = sigma F[2][i] 称为该作业 调度的完成时间之和。
批处理作业调度问题要求对于给定的 n 个作业，制定最佳作业调度 方案，使其完成时间和达到最小。
二、 解题思路及所选算法策略的可行性分析
用优先队列式分支限界法解决此问题。由于要从n个作业的所有排列中找出有最小完成时间和的作业调度，所以批处理作业调度问题的解空间树是一颗排列树。对于批处理作业调度问题，可以证明存在最佳作业调度使得在机器1和机器2上作业以相同次序完成(因为每个作业必须先在机器1上完成作业才能在机器2上进行作业)。
如果对于未安排的作业，对于其中一个作业，每当该作业在机器1上完成处理后都能立即在机器2上开始处理，则机器1没有空闲时间，达到满工作状态，将此情况的未安排作业在机器2上的工作时间总和记为S1，同理将机器2满工作状态的情况下的工作时间总和记为S2，则必有：
所有作业机器2上完工时间和 >= 已安排作业机器2上完工时间和 + max{S1,S2}
其中当未安排作业按照在机器1、2上工作时间非递减顺序进行调度时，S1和S2同时取得极小值且和调度无关，由此可作为分支限界法中的限界函数。
伪代码描述及复杂度分析
bbFlow(){
对各作业在机器1和2上作旭时间排序
do{
if(到达叶结点){
if(当前作业安排机器2上完成时间和 < bestc){
更新bestc；
更新最优解；
}
}else{
For(int i=enode.已安排作业数; i<总作业数; i++){
求得当前下届bb；
If(bb < bestc){
结点插入最小堆；
}
}
}
取下一个拓展结点；
}while（enode!=null&&enode.s<=n）
}
三、 代码实现
package 分支限界法; public class Nodes implements Comparable { int s;//已安排作业数 int sf2;//当前机器2上的完成时间和 int bb;//当前完成时间和下界 int[] f;//f[1]机器1上最后完成时间，f[2]机器2上最后完成时间 int[] x;//当前作业调度 public Nodes(int n){ //最小堆结点初始化 x=new int[n]; for(int i=0;i<n;i++) x[i]=i; s=0; f=new int[3]; f[1]=0; f[2]=0; sf2=0; bb=0; } public Nodes(Nodes e,int[] ef,int ebb,int n){ //最小堆新结点 x=new int[n]; for(int i=0;i<n;i++) x[i]=e.x[i]; f=ef; sf2=e.sf2+f[2]; bb=ebb; s=e.s+1; } @Override public int compareTo(Object o) { int xbb=((Nodes) o).bb; if(bb<xbb) return -1; if(bb==xbb) return 0; return 1; } } public class BBFlow { public int n;//作业数 public int bestc;//最小完成时间和 public int [][]m;//n个作业所需的处理时间数组 public int [][]b;//n个作业所需的处理时间排序数组 public int[][] a;//数组m和b的对应关系数组 public int[] bestx;//最优解 public boolean[][] y;//工作数组 public BBFlow(int n,int[][] m){ this.n=n; bestc=10000; this.m=m; b=new int[n][2]; a=new int[n][2]; bestx=new int[n]; y=new boolean[n][2]; } public void swap(int[][] b,int i,int j,int k,int t){ int temp=b[i][j]; b[i][j]=b[k][t]; b[k][t]=temp; } public void swap(int[] x,int i,int j){ int temp=x[i]; x[i]=x[j]; x[j]=temp; } /** * 对n个作业在机器1和2上所需时间排序 */ public void sort(){ int[] c=new int[n]; for(int j=0;j<2;j++){ for(int i=0;i<n;i++){ b[i][j]=m[i][j]; c[i]=i; } for(int i=0;i<n-1;i++){ for(int k=n-1;k>i;k--){ if(b[k][j]<b[k-1][j]){ swap(b,k,j,k-1,j); swap(c,k,k-1); } } } for(int i=0;i<n;i++) a[c[i]][j]=i; } } /** * 计算完成时间和下界 * @param enode * @param f * @return */ public int bound(Nodes enode,int[] f){ for(int k=0;k<n;k++){ for(int j=0;j<2;j++){ y[k][j]=false; } } for(int k=0;k<enode.s;k++){ for(int j=0;j<2;j++){ y[a[enode.x[k]][j]][j]=true; } } f[1]=enode.f[1]+m[enode.x[enode.s]][0]; f[2]=((f[1]>enode.f[2])?f[1]:enode.f[2])+m[enode.x[enode.s]][1]; int sf2=enode.sf2+f[2]; int s1=0; int s2=0; int k1=n-enode.s; int k2=n-enode.s; int f3=f[2]; //计算s1的值 for(int j=0;j<n;j++){ if(!y[j][0]){ k1--; if(k1==n-enode.s-1) f3=(f[2]>f[1]+b[j][0])?f[2]:f[1]+b[j][0]; s1+=f[1]+k1*b[j][0]; } } //计算s2的值 for(int j=0;j<n;j++){ if(!y[j][1]){ k2--; s1+=b[j][1]; s2+=f3+k2*b[j][1]; } } //返回完成时间和下界 return sf2+((s1>s2)?s1:s2); } /** * 优先队列式分支限界法解批处理作业调度问题 * @param nn * @return */ public int bbFlow(int nn){ n=nn; sort();//对n个作业在机器1和2上所需时间排序 LinkedList<Nodes> heap=new LinkedList<Nodes>(); Nodes enode =new Nodes(n); //搜索排列空间树 do{ if(enode.s==n){ //叶节点 if(enode.sf2<bestc){ bestc=enode.sf2; for(int i=0;i<n;i++){ bestx[i]=enode.x[i]; } } }else{ //产生当前扩展结点的儿子结点 for(int i=enode.s;i<n;i++){ swap(enode.x,enode.s,i); int[] f=new int[3]; int bb=bound(enode,f); if(bb<bestc){ //子树可能含有最优解 //结点插入最小堆 Nodes node=new Nodes(enode,f,bb,n); heap.add(node); Collections.sort(heap); } swap(enode.x,enode.s,i); }//完成结点扩展 } //取下一个扩展结点 enode=heap.poll(); }while(enode!=null&&enode.s<=n); return bestc; } public static void main(String[] args) { int n=3; int[][] m={{2,1},{3,1},{2,3}};//m的下标从0开始 BBFlow f=new BBFlow(n,m); f.bbFlow(n); System.out.println("最优批处理作业调度顺序为："); for(int i=0;i<n;i++) System.out.print((f.bestx[i]+1)+" "); System.out.println(); System.out.println("最优调度所需的最短时间为："+f.bestc); } } /************************* *运行结果 *最优批处理作业调度顺序为： *1 3 2 *最优调度所需的最短时间为：18 *************************/