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Part0
最近一直在搞这些东西
做了将近20道题目吧
也算是有感而发
写点东西记录一下自己的感受
如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛，请拿出纸笔，每个式子都自己好好的推一遍，理解清楚每一步是怎么来的，并且自己好好思考。
Part1莫比乌斯反演
莫比乌斯反演啥都没有，就只有两个式子（一般只用一个）
原来我已经写过一次了，再在这里写一次
就只写常用的那个吧
基本的公式
对于一个函数f(x)f(x)
设g(x)=∑x|df(d)g(x)=∑x|df(d)
那么
f(x)=∑x|dμ(dx)g(d)f(x)=∑x|dμ(dx)g(d)
这个有什么用？
似乎太有用了一点
随手搞道题目来说吧
求
∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=1]∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=1]
这个东西很直接，
所以我们设
f(x)=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=x]f(x)=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=x]
g(x)=∑x|df(d)g(x)=∑x|df(d)
根据莫比乌斯反演可以得到
f(1)=∑1|dμ(d1)g(d)=∑i=1nμ(i)g(i)f(1)=∑1|dμ(d1)g(d)=∑i=1nμ(i)g(i)
g(x)g(x) 是什么东西？
g(x)=∑i=1n∑j=1m[x|gcd(i,j)]g(x)=∑i=1n∑j=1m[x|gcd(i,j)]
直接把xx 除到上面去
g(x)=∑i=1n/x∑j=1m/x[1|gcd(i,j)]g(x)=∑i=1n/x∑j=1m/x[1|gcd(i,j)]
[1|gcd][1|gcd] 显然成立的
所以g(x)=[nx][mx]g(x)=[nx][mx]
可以O(1)O(1) 计算
所以，f(1)f(1) 可以O(n)O(n) 计算
一起推下式子
莫比乌斯反演的套路太多了
我们再来看两道题目
Crash的数字表格
jzptab
这两题按照顺序看嗷
具体的过程直接看我博客里面写的东西
我们发现这两道题一模一样
但是下面的那道题目可以做到单次询问O(n−−√)O(n)
他多干了什么？？？
这个问题，我们自己再来重新推一下
不过找个容易点的东西
∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)
这个肯定没有前面我给的例子的莫比乌斯反演那么直接
但是我们观察一下，gcdgcd 的取值有哪些？？
1～n1～n (假设n<mn<m )
那么，我们可以把gcdgcd 相同的项合并
所以，我们枚举gcdgcd 的值
∑d=1nd∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=d]∑d=1nd∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=d]
后面的那一部分是不是想到了前面推出的东西？？？
所以先把dd 直接除上去
∑d=1nd∑i=1n/d∑j=1m/d[gcd(i,j)=1]∑d=1nd∑i=1n/d∑j=1m/d[gcd(i,j)=1]
n/dn/d 和m/dm/d 不要想太多，你就当成xx 和yy
∑i=1x∑j=1y[gcd(i,j)=1]∑i=1x∑j=1y[gcd(i,j)=1]
不就是上面推过的第一个例子？？
=∑i=1xμ(i)[xi][yi]=∑i=1xμ(i)[xi][yi]
把这一截放回我们要求的式子里面去
∑d=1nd∑i=1xμ(i)[xi][yi]∑d=1nd∑i=1xμ(i)[xi][yi]
把x,yx,y 还是写成原样吧
∑d=1nd∑i=1n/dμ(i)[nid][mid]∑d=1nd∑i=1n/dμ(i)[nid][mid]
是不是n/dn/d 可以数论分块
而在计算后面的东西的时候，n/din/di 也可以数论分块？？
所以这个时候的复杂度是O(n)O(n)
与之相对应的就是上面Crash的数字表格的O(n)O(n) 做法
可是，像下面那个O(n−−√)O(n) 是怎么做的呢？
那我们就继续推一步
我们是不是可以直接对nidnid 分块呢？
所以，我们设T=idT=id 把idid 换一下
∑d=1nd∑i=1n/dμ(i)[nT][mT]∑d=1nd∑i=1n/dμ(i)[nT][mT]
这个时候，比较关键的一步
把TT 提出来
∑T=1n[nT][mT]∑d|Tdμ(Td)∑T=1n[nT][mT]∑d|Tdμ(Td)
为什么是这个？？
我们来分析一波
首先每一个TT 一定对应[nT][mT][nT][mT]
这一项之和TT 有关，所以可以提出来
这个时候考虑对于每一个TT ，什么样的ii 和dd 会给他产生贡献呢？
最显然的一点，dd 是TT 的一个因数
看到上面的式子，我们不难发现会贡献一个dd 的什么东西
后面的是什么？μ(i)μ(i)
继续想想，既然T=idT=id ，我们枚举了一个TT ，
又知道dd 是TT 的一个因子了，所以i=Tdi=Td
所以，就有了上面把TT 拿出来的式子
前面的东西看起来可以数论分块
但是这样子后面的东西怎么办？
不可能O(n−−√)O(n) 暴力枚举呀
没错，当然不需要暴力枚举
我们发现后面的东西也是一个积性函数（因为他是两个积性函数的狄利克雷卷积）
所以它是可以线性的筛出来的
到这里，前面对于TT 数论分块
后面的前缀和可以O(n)O(n) 线性筛预处理出来
此时单次询问整体的复杂度就是O(n−−√)O(n)
对了，不要思想江化
后面那个东西如果不能够直接线性筛
那就不要线性筛了，
只要复杂度允许，暴力筛也是很可以的
其实，如果我们继续观察，很容易知道一点：
∑d|Tdμ(Td)=φ(T)∑d|Tdμ(Td)=φ(T)
证明？直接从狄利克雷卷积的角度来吧
我们知道(1∗φ)(i)=i(1∗φ)(i)=i
还知道(1∗μ)(i)=e(1∗μ)(i)=e
其中11 是f(x)=1f(x)=1
ee 是f(x)=[x=1]f(x)=[x=1]
idid 是f(x)=xf(x)=x
我们的式子等于
(id∗φ)(i)=(φ∗1∗μ)(i)=(φ∗(1∗μ))(i)=(φ∗e)(i)=φ(i)(id∗φ)(i)=(φ∗1∗μ)(i)=(φ∗(1∗μ))(i)=(φ∗e)(i)=φ(i)
所以这个东西当然可以线性筛啦。
莫比乌斯反演差不多就到这里啦
我们经历的复杂度从O(n2)O(n2) 的暴力
推一步之后变成了O(n)O(n)
再变成了O(n−−√)O(n)
莫比乌斯反演的关键步骤也就是两步
首先是化简式子，写成莫比乌斯反演的形式
然后就是怎么处理前缀和，数论分块等东西的问题
这些能够解决好，莫比乌斯反演的题目就很好解决啦
Part2线性筛
当然是怎么各种线性筛东西啦
线性筛最重要的一点：
每个数一定，也只会，被他的最小质因子给筛到
说白点，比如说72=2∗2∗2∗3∗372=2∗2∗2∗3∗3
他就会被他的最小质因子给筛到
也就是2∗362∗36 时被筛到
所以，一般线性筛如果要存储其他的东西来筛的话
一定是记录最小质因子的东西
大概的写一下几个积性函数：
μμ 莫比乌斯函数
这个怎么筛应该都会吧
φφ 欧拉函数
怎么筛应该也很明显吧。
dd 约数个数
这个怎么筛？
考虑唯一分解定理:
x=∏paiix=∏piai
那么d(x)=∏(ai+1)d(x)=∏(ai+1)
记录一下最小质因子的个数
每次就先把原来的除掉，再把+1+1 后的个数乘上就好啦
σσ 约数和
还是唯一分解定理
x=∏paiix=∏piai
σ(x)=∏(∑aij=0pji)σ(x)=∏(∑j=0aipij)
记录一下最小质因子的上面那个式子的和
以及这个因子的aiai 次幂
每次也是先除掉再乘上新的
akak kk 次幂
把这个东西写进来，只是为了提醒一下
akak 这种东西是一个完全积性函数，也是可以丢进去筛的
invinv 乘法逆元
没啥，一样的，乘法逆元也是完全积性函数
蛤，我知道可以O(n)O(n) 递推
只是写一下而已
我比较懒，不想把板子蒯过来
直接把ppl的链接给你们嗷（虽然他的代码风格我觉得很丑）
Part3杜教筛
来个栗子
线性筛O(n)O(n) 复杂度，美滋滋
好的，我知道了
来一个很interestinginteresting 的题目？？？
求∑i=1nμ(i)的值求∑i=1nμ(i)的值
我当然知道你会线性筛
所以n<=109n<=109
杜教筛是蛤？
比如说。。
我们现在要求一个积性函数f(i)f(i) 的前缀和S(i)S(i)
也就是说S(n)=∑ni=1f(i)S(n)=∑i=1nf(i)
现在很不好算呀
怎么办？？
这个时候，就来杜教筛套路一波
我再来找个积性函数g(i)g(i) （不知道是啥）
让gg 和ff 做一个卷积
(g∗f)(i)=∑d|ig(d)f(id)(g∗f)(i)=∑d|ig(d)f(id)
再求一下卷积的前缀和
∑i=1n(g∗f)(i)=∑i=1n∑d|ig(d)f(id)∑i=1n(g∗f)(i)=∑i=1n∑d|ig(d)f(id)
把dd 给提出来
∑d=1ng(d)∑d|if(id)∑d=1ng(d)∑d|if(id)
∑d=1ng(d)∑i=1n/df(i)∑d=1ng(d)∑i=1n/df(i)
∑d=1ng(d)S(nd)∑d=1ng(d)S(nd)
如果仔细想想
我们就会有这个式子：
g(1)S(n)=∑i=1ng(i)S(ni)−∑i=2ng(i)S(ni)g(1)S(n)=∑i=1ng(i)S(ni)−∑i=2ng(i)S(ni)
前面的东西是狄利克雷卷积
g(1)S(n)=∑i=1n(g∗f)(i)−∑i=2ng(i)S(ni)g(1)S(n)=∑i=1n(g∗f)(i)−∑i=2ng(i)S(ni)
如果狄利克雷卷积的前缀和非常好算的话
那么我们就可以对后面的东西进行数论分块
然后递归计算。
提醒一句：
一定要记忆化，一定要记忆化，一定要记忆化
回到栗子
∑ni=1μ(i)∑i=1nμ(i)
把杜教筛的公式套路式子找过来蛤
g(1)S(n)=∑i=1n(g∗μ)(i)−∑i=2ng(i)S(ni)g(1)S(n)=∑i=1n(g∗μ)(i)−∑i=2ng(i)S(ni)
看到了μμ 想一个积性函数，让他们的狄利克雷卷积前缀和很好算
我们知道
∑d|iμ(d)=[d=1]=e∑d|iμ(d)=[d=1]=e
也就是说
(1∗μ)=e(1∗μ)=e
ee 的前缀和是啥？
当然是11 了
所以，取g(x)=1g(x)=1
S(n)=1−∑i=2nS(ni)S(n)=1−∑i=2nS(ni)
这样子的话，首先线性筛出一部分的μμ 的前缀和
然后来一波记忆化搜索美滋滋
再来个栗子把
把上面的μμ 换成φφ
我们还是知道
∑d|iφ(d)=i=id(i)∑d|iφ(d)=i=id(i)
所以，如果是φφ 的话
就令g(x)=id(x)=xg(x)=id(x)=x
所以，
S(n)=n∗(n+1)2−∑i=2niS(ni)S(n)=n∗(n+1)2−∑i=2niS(ni)
多好的套路
但是，不要被套路给套死啦
面对不同的函数
一定要考虑清楚gg 是啥
好的gg 能让你的程序更加好算
Part4我也不知道为什么要加上这一部分
好啦
上面好好地写了一下莫比乌斯反演和杜教筛
是不是觉得很简单
当然，莫比乌斯反演和杜教筛当然可以混在一起
莫比乌斯反演推柿子
杜教筛求前缀和
一点也不矛盾
既然我也不知道最后这部分干啥
那就找一堆题目来吧
欢迎查我水表
算了
还是把水表给你们把
莫比乌斯反演的水表
杜教筛的水表
最后，说几句话
不要因为有了杜教筛和线性筛
就天天想着怎么筛
筛不了就滚去写暴力
埃氏筛法很不错
暴力枚举因数也很不错