这几天比较系统的学了一下微积分和导数（其实是高考课课余没事干和不想在机房颓废。。
一、导数
其实就是个变化率的问题。
我们设一个函数$f(x)$的导数为$D[f(x)]$
那么：
$$D[f(x)]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
导数是这样用的。
$$f(x+\Delta x)=f(x)+D[f(x)]\Delta x$$
然后写一些常用的求导公式。
1.$$f(x)=ax+b$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ax+b+a\Delta x - (ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=a\end{array}$$
2.$$f(x)=x^n$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i x^i{\Delta x}^{n-i}-x^n}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_n^i{\Delta x}^{n-i-1}x^i\\&=&nx^{n-1}\end{array}$$
关于三角函数，我们知道：
$$\lim_{x\rightarrow 0}sin(x)=x$$
$$\lim_{x\rightarrow 0}cos(x)=1$$
3.$$f(x)=\sin(ax+b)$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(a(x+\Delta x)+b)-sin(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(ax+b)cos(a\Delta x)+cos(ax+b)sin(a\Delta x)-sin(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(ax+b)-sin(ax+b)+a\Delta x cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&acos(ax+b)\end{array}$$
4.$$f(x)=\cos(ax+b)$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos(a(x+\Delta x)+b)-cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos(ax+b)cos(a\Delta x)-sin(ax+b)sin(a\Delta x)-cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{sin(ax+b)a\Delta x}{\Delta x}\\&=&-asin(ax+b)\end{array}$$
我们知道$e$的定义式是：
$$e=\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$
5.$$f(x)=a^x$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{\frac{1}{(a^{\Delta x}-1)}\log_a((a^{\Delta x-1}+1))}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{{\log_a(1+(a^{\Delta x}-1))}^{\frac{1}{a^{\Delta x}-1}}}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{\log_a(x)}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}a^x\ln a\end{array}$$
6.导数运算法则：
$$D[cf(x)]=cD[f(x)]$$
$$D[f(x)+g(x)]=D[f(x)]+D[g(x)]$$
$$D[f(x)-g(x)]=D[f(x)]-D[g(x)]$$
加减不证明了。太显然了。。
主要证明一下乘除和复合函数。
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)g(x)]&=&\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\&=&\frac{(f(x)+D[f(x)]\Delta x)(g(x)+D[g(x)](\Delta x))-f(x)g(x)}{\Delta x}\\&=&\frac{f(x)g(x)+f(x)D[g(x)]\Delta x + D[f(x)]g(x)\Delta x - f(x)g(x)}{\Delta x}\\&=&\frac{f(x)D[g(x)]\Delta x + D[f(x)]g(x)\Delta x + D[g(x)]D[f(x)]{\Delta x}^2}{\Delta x}\\&=&D[f(x)]g(x)+f(x)D[g(x)]\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}D[\frac{f(x)}{g(x)}]&=&\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\&=&\frac{\frac{f(x)+D[f(x)]\Delta x}{g(x)+D[g(x)]\Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\&=&\frac{g(x)(f(x)+D[f(x)]\Delta x)-f(x)(g(x)+D[g(x)]\Delta x)}{(g(x)+D[g(x)]\Delta x)g(x)\Delta x}\\&=&\frac{D[f(x)]g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)+D[g(x)]\Delta x g(x)}\\&=&\frac{D(f(x))g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)}\end{array}$$
设$D[f[g(x)]]$为函数$f$在$g(x)$处的导数，区别于$D[f(g(x))]$,$D[f(g(x))]$为函数$f(g(x))$的导数。
$$\begin{array}{rcl}D[f(g(x))]&=&\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\\&=&\frac{f(g(x)+\Delta xg(x))-f(g(x))}{\Delta x}\\&=&\frac{f(g(x))+D[f[g(x)]]\Delta xD[g(x)]-f(g(x))}{\Delta x}\\&=&D[f[g(x)]]D[g(x)]\end{array}$$
二、定积分
简单来说定积分用来求一个函数关于某条轴的面积大小。
比如说：
$$\int_a^b f(x)dx$$就是函数$f(x)$关于$x$轴的积分。
我们发现定积分的一些基本运算法则。
$$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$$
$$\int_a^b Cf(x)dx=C\int_a^b f(x)dx$$
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$$
$$\int_a^a f(x)dx=0$$
$$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$$
微积分基本定理：
设$$D[F(x)]=f(x)$$
那么：
$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\mid_a^b$$