洛谷P2657 [SCOI2009]windy数

题目

数位\(DP\)

数位\(DP\)一般用于对满足一个什么条件的数的个数进行计数,且该数的数据范围很大的问题进行求解。这种题的状态一般都跟长度、限制条件、最高位上的数有关。

本题的状态为:\(dp[i][j]\)为长度为\(i\)的,最高位为\(j\)\(windy\)数个数。

此状态有个非常简单的递推式,\(dp[i][j]=\sum{dp[i-1][k]}(abs(j-k)<=2)\)

然后我们用函数\(solv(a)\)返回\(1\)\(a-1\)的所有\(windy\)数的个数,最终答案即为\(solv(b+1)-solv(a)\)的值。

考虑\(solv\)函数该如何写,现将\(a\)逐位分解,求出\(len\)个数,然后将长度比\(len\)小无论最高位不为\(0\)的(因为不含前导零)\(dp\)值都加上,因为他们肯定都属于\(1\)\(a-1\)之中,然后再加上长度为\(len\)且最高位比\(j\)小的\(windy\)数个数,然后此时我们存在漏解的情况,我们还少长度为\(len\)且最高位跟\(j\)相同,但是又比\(a\)小的\(windy\)数个数,因为此时len为位是相同的,所以我们直接枚举len-1到1位,每次确定一位然后加上当前枚举位的dp值,如果当前位在枚举完了之后确定以后跟上一位相差小于二,则break,因为此位已确定且已经不满足条件了。

//long long,inline后加函数类型
//关键字:y1,time,tm,end,next,hash, j0,j1,jn,y0,yn,_end会re;
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
long long A, B;
int dp[1001][1001], temp[1001], len;//dp[i][j]代表长度i,最高位为j的windy数个数(注意是最高位)
void init()
{
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        dp[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= 10; i++)
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                if (abs(j - k) >= 2)
                    dp[i][j] += dp[i - 1][k];
}
long long solv(int a)//返回n的数
{
    memset(temp, 0, sizeof(temp));
    len = 0;
    int ans = 0;
    while (a)
        temp[++len] = a % 10, a /= 10;
    for (int i = 1; i <= len - 1; i++)//求len-1位的符合条件的windy数。 
        for (int j = 1; j <= 9; j++)
            ans += dp[i][j];
    for (int j = 1; j < temp[len]; j++)
        ans += dp[len][j];
    for (int i = len - 1; i >= 1; i--)//求len-1所有跟a相差不大的数。 
    {
        for (int j = 0; j < temp[i]; j++)
            if ( abs(j - temp[i + 1]) >= 2)
                ans += dp[i][j];
        if (abs(temp[i] - temp[i + 1]) < 2) break;//只要有一次相邻的两个数不满足则不需要再向下继续搜索下去了。 
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    init();
    scanf("%lld%lld", &A, &B);
    printf("%lld",  solv(B + 1) - solv(A));
    return 0;
}

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