什么神仙思路啊……
看到棋盘就去想二分图。（smg啊）（其实是校内模拟赛有基本一样的题，只不过直接给了个二分图）
看到二分图就去想最大匹配。（我怎么想偶环的性质去了）
（以下内容摘自这里）
这个二分图的某种最大匹配方案中，从非匹配点出发先手必败：先手只能走到匹配点(否则不是最大匹配)，后手只需要一直走匹配边即可，先手操作时不可能走到非匹配点(否则存在增广路，与最大匹配矛盾)，所以先手必败。
容易发现，当且仅当出发点一定在最大匹配中，先手才会胜利。
（注：这里我觉得有点问题，虽然我大概能感受到究竟为什么是对的，但我说不出，所以咕了）
所以，一个起点使先手必胜当且仅当它一定在最大匹配中。
判断的话，先求出任意一个最大匹配。然后对有匹配的点，如果与他有匹配的点能找到另一个匹配，那么它实际上不合法，否则合法。
用匈牙利算法即可做到 \(O((nm)^2)\)。实际上常数小，跑不满，跑得飞快。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010,mod=998244353,d[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
int x=0,f=0;char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int n,m,el,cnt,head[maxn],to[maxn],nxt[maxn],dis[maxn],with[maxn],x[maxn],y[maxn],id[111][111],tot;
char mp[111][111];
bool vis[maxn],ans[maxn];
inline void add(int u,int v){
to[++el]=v;nxt[el]=head[u];head[u]=el;
}
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(~dis[v]) continue;
dis[v]=dis[u]^1;
dfs(v);
}
}
bool dfs2(int u){
if(vis[u]) return false;
vis[u]=true;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i];
if(!with[v] || dfs2(with[v])){
with[with[u]]=0;
with[u]=v;with[v]=u;
return true;
}
}
return false;
}
int main(){
n=read();m=read();
FOR(i,1,n) scanf("%s",mp[i]+1);
FOR(i,1,n) FOR(j,1,m) if(mp[i][j]=='.') id[i][j]=++cnt,x[cnt]=i,y[cnt]=j;
FOR(i,1,n) FOR(j,1,m) if(mp[i][j]=='.'){
FOR(k,0,3){
int ti=i+d[k][0],tj=j+d[k][1];
if(ti<1 || ti>n || tj<1 || tj>m || mp[ti][tj]=='#') continue;
add(id[i][j],id[ti][tj]);
}
}
MEM(dis,-1);
FOR(i,1,cnt) if(dis[i]==-1) dis[i]=0,dfs(i);
FOR(i,1,cnt) if(dis[i]){
MEM(vis,0);
dfs2(i);
}
FOR(i,1,cnt) if(with[i]){
MEM(vis,0);
ans[i]=!dfs2(with[i]);
}
FOR(i,1,cnt) if(!ans[i]) tot++;
printf("%d\n",tot);
FOR(i,1,cnt) if(!ans[i]) printf("%d %d\n",x[i],y[i]);
}