「SCOI2015」小凸玩密室

题目描述

小凸和小方相约玩密室逃脱，这个密室是一棵有 $n$ 个节点的完全二叉树，每个节点有一个灯泡。点亮所有灯泡即可逃出密室。每个灯泡有个权值 $A_i$，每条边也有个权值 $b_i$。

点亮第 $1$ 个灯泡不需要花费，之后每点亮一个新的灯泡 $V$ 的花费，等于上一个被点亮的灯泡 $U$ 到这个点 $V$ 的距离 $D(u, v)$，乘以这个点的权值 $A_v$。

在点灯的过程中，要保证任意时刻所有被点亮的灯泡必须连通，在点亮一个灯泡后必须先点亮其子树所有灯泡才能点亮其他灯泡。请告诉他们，逃出密室的最少花费是多少。

数据范围

$1 \leq N \leq 2 \times 10 ^ 5, 1 < A_i, B_i \leq 10 ^ 5$

题解

考虑暴力， $f_{i,j}$ 表示走完 $i$ 子树，直接走到 $j$ 的最小花费，转移考虑用左右儿子转移。

可以发现我们只需要知道 $j$ 为 $i$ 的祖先或者祖先的另一个儿子的 $f$ 值即可，于是复杂度降至 $nlogn$ 。

注意 $i$ 为叶子或者 $i$ 只有左儿子的情况。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n;LL a[N],b[N],f[N][20],g[N][20],ans=2e18;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&b[i]),b[i]+=b[i>>1];
    for (int i=n,l,r;i;i--){
        l=i<<1;r=l|1;
        for (int j=i,x,y=1;j>1;j>>=1,y++){
            x=j^1;
            if (l>n) f[i][y]=a[x]*(b[i]+b[x]-(b[j>>1]<<1));
            else if (r>n) f[i][y]=f[l][y+1]+a[l]*(b[l]-b[i]);
            else f[i][y]=min(a[l]*(b[l]-b[i])+f[l][1]+f[r][y+1],
                            a[r]*(b[r]-b[i])+f[r][1]+f[l][y+1]);
        }
    }
    for (int i=n,l,r;i;i--){
        l=i<<1;r=l|1;
        for (int j=i>>1,y=1;;j>>=1,y++){
            if (l>n) g[i][y]=a[j]*(b[i]-b[j]);
            else if (r>n) g[i][y]=g[l][y+1]+a[l]*(b[l]-b[i]);
            else g[i][y]=min(a[l]*(b[l]-b[i])+f[l][1]+g[r][y+1],
                            a[r]*(b[r]-b[i])+f[r][1]+g[l][y+1]);
            if (!j) break;
        }
    }
    for (int j,x,i=1;i<=n;i++){
        LL v=g[i][1];j=i>>1;x=i^1;
        while(j){
            if (x>n) v+=a[j>>1]*(b[j]-b[j>>1]);
            else v+=a[x]*(b[x]-b[j])+g[x][2];
            x=j^1;j>>=1;
        }
        ans=min(ans,v);
    }
    return cout<<ans<<endl,0;
}