题解

倍增+DP好题。这道题的DP太神了！

感觉上这道题怎么DP向后的状态，或向前的状态都非常不好做，从Chen’s Blog学到了DP的~~新姿势~~

非常关键的一点：这是一颗完全二叉树。很多DP的优化方法都由此而来。

观察点灯的过程：

(1) 点亮一个点
(2) 选择其一个子节点递归下去，递归完毕则该子节点子树全部点亮(最后一个被点亮的必然是某个该子树内的叶子节点)
(3) 再递归另一子树
(4) 该子树已全部点亮，回溯其父节点
(5) 继续操作，直到整棵树都被点亮

由此过程受到启发：

无法有效枚举每一点是由其兄弟节点子树内哪个叶子转移而来
但可以枚举叶子转移到其某一级祖先的兄弟节点/或某一级祖先(注意这是一颗完全二叉树，层数是严格 $\log n$ 的)的最少花费。
转移到某一级祖先的兄弟节点的情况表示过程(3)，转移到某一级祖先的情况表示过程(4)

现在可以列出转移数组 $f[i][j][0/1]$ 了，设 $lc_i,rc_i$ 分别表示节点 $i$ 的左右儿子，节点 $i$ 的第 $j$ 个祖先为 $fa[i][j]$ (这里的第 $j$ 个祖先表示第 $j$ 靠近该点的祖先)，节点 $i$ 的第 $j$ 个祖先的不为 $i$ 祖先的子节点( $f[i][j-1]$ 的兄弟)为 $li[i][j]$ 。

$f[i][j][0]$ 表示以节点 $i$ 为根的子树全部被点亮之后再去点亮 $fa[i][j]$ 的最小花费。
$f[i][j][1]$ 表示以节点 $i$ 为根的子树全部被点亮之后再去点亮 $li[i][j]$ 的最小花费。

$f[i][j][0/1]$ 均假设 $i$ 为起点(点亮 $i$ 花费为0)。转移是 $O(1)$ 的，分类讨论一下：

$i$ 是叶子节点。
$f[i][j][0]=dist(i,fa[i][j])\times a_{fa[i][j]}$ ， $f[i][j][1]=dist(i,li[i][j])\times a_{li[i][j]}$
$i$ 只有左儿子，只能走左儿子。
$f[i][j][0]=f[lc_i][j+1][0]+dist(i,lc_i)\times a_{lc_i}$
$f[i][j][1]=f[lc_i][j+1][1]+dist(i,lc_i)\times a_{lc_i}$
$i$ 有左右儿子，分别枚举先走左/右儿子，取 $max$ 。
$f[i][j][0]=max(dist(lc_i,i)\times a_{lc_i}+f[lc_i][1][1]+f[rc_i][j+1][0],dist(rc_i,i)\times a_{rc_i}+f[rc_i][1][1]+f[lc_i][j+1][0])$
$f[i][j][1]=max(dist(lc_i,i)\times a_{lc_i}+f[lc_i][1][1]+f[rc_i][j+1][1],dist(rc_i,i)\times a_{rc_i}+f[rc_i][1][1]+f[lc_i][j+1][1])$

$fa[i][j],dist(i,j)$ 预处理即可。
注意第一个点亮的灯泡不是固定的，需要枚举起点。

枚举起点也是从当前起点不断往上点亮祖先，如果有兄弟就先点亮兄弟的子树。

时间复杂度 $O(n \log n)$ 。~~感觉说得很详细了。~~

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define RI register
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define p(i,j) (1<<(j-1)<=i? (i>>j):(-1))
#define li(i,j) ((i>>(j-1))^1)
using namespace std;
const int N=2e5+10,w=17;
typedef long long ll;

int n,a[N];
ll dis[N][20],f[N][20][2],ans,tp;

inline void upp(ll &x,ll y){x=min(x,y);} 

int main(){
    RI int i,j,k,t;
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    ans=f[0][0][0];
    memset(f[0],0,sizeof(f[0]));
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=2;i<=n;++i)
     scanf("%lld",&dis[i][1]);
    for(i=2;i<=n;++i)
     for(j=2;~p(i,j);++j)
      dis[i][j]=dis[i>>1][j-1]+dis[i][1];
    for(i=n;i;--i){
        for(j=1;~p(i,j);++j){
            if(ls(i)>n){
                f[i][j][0]=dis[i][j]*a[i>>j];
                f[i][j][1]=(dis[i][j]+dis[li(i,j)][1])*a[li(i,j)];
            }else if(rs(i)>n){
                f[i][j][0]=f[ls(i)][j+1][0]+dis[ls(i)][1]*a[ls(i)];
                f[i][j][1]=f[ls(i)][j+1][1]+dis[ls(i)][1]*a[ls(i)];
            }else{
                f[i][j][0]=dis[rs(i)][1]*a[rs(i)]+f[rs(i)][1][1]+f[ls(i)][j+1][0];
                upp(f[i][j][0],dis[ls(i)][1]*a[ls(i)]+f[ls(i)][1][1]+f[rs(i)][j+1][0]);
                f[i][j][1]=dis[rs(i)][1]*a[rs(i)]+f[rs(i)][1][1]+f[ls(i)][j+1][1];
                upp(f[i][j][1],dis[ls(i)][1]*a[ls(i)]+f[ls(i)][1][1]+f[rs(i)][j+1][1]);
            }
        }
    }
    for(i=n;i;--i){
        tp=f[i][1][0];
        for(j=1;~p(i,j);++j){
            k=li(i>>(j-1),1);
            if(k<=n)
               tp+=dis[k][1]*a[k]+f[k][2][0];
            else tp+=dis[i>>j][1]*a[i>>(j+1)];
        }
        ans=min(ans,tp);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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