【题解】HDU4689 Derangement(有技巧的计数DP)

【题解】HDU4689 Derangement(有技巧的计数DP)

传送门

呵呵没告诉我多测组数，然后\(n\le 20,7000\mathrm{ms}\)我写了个状压上去T了

题目大意：

要你求错排的方案数，但要求\(i\)位上的数比\(i\)大/小。大小关系用正负号告诉你，读入一个字符串。

\(O(n2^n)\)

设\(dp(s)\)表示已经放了\(|s|\)个数进去，放的数占满了\(s\)中的位置的方案数

转移太显然直接贴代码

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define DE(s) cerr<<(#s)<<"="<<(s)<<endl;
#define lowbit(x) ((x)&-(x))

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
      while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}
const int maxn=20;
int n,U;
ll dp[1<<maxn];
char c[maxn];

int main(){
      while(~scanf("%s",c)){
        n=strlen(c);
        dp[0]=1;
        U=(1<<n)-1;
        for(int t=1;t<=U;++t){
          dp[t]=0;
          int cnt=0;
          for(int g=t;g;g-=lowbit(g)) ++cnt;
          for(int i=0,g=t;i<n&&g;++i){
            if(g>>i&1){
                  if(c[i]=='+'&&cnt>i+1) dp[t]+=dp[t^(1<<i)];
                  if(c[i]=='-'&&cnt<i+1) dp[t]+=dp[t^(1<<i)];
                  g^=1<<i;
            }
          }
        }
        printf("%lld\n",dp[U]);
      }
      return 0;
}

过不了 别想了

\(O(n^2)\)

考虑+号是一个后缀性的匹配，-号是一个前缀型的匹配。也就是说我们不可能直接把数给选好，要在后面再进行选择。这启发我可以设这样的状态：

\(dp(i,j)\)表示已经考虑前\(i\)个符号，但是需要从后面拉来\(j\)个\(>i\)数来凑齐前面的\(“+”\)。

当前是负号：

• 当前位置上的数拿来匹配前面的+
  \[ dp(i,j)\leftarrow dp(i-1,j+1)((i-1)-(sum(+)-(j+1))-sum(-))(j+1) \]

• 当前位置上的数不匹配前面的+
  \[ dp(i,j)\leftarrow dp(i-1,j)((i-1)-(sum(+)-j)-sum(-)) \]

当前是正号

• 当前位置上的数拿来匹配前面一个+
  \[ dp(i,j)\leftarrow dp(i-1,j)j \]

• 当前位置上的数不匹配
  \[ dp(i,j)\leftarrow dp(i-1,j-1) \]

复杂度\(O(n^2)\)

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define DE(s) cerr<<(#s)<<"="<<(s)<<endl
#define lowbit(x) ((x)&-(x))

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
      while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}
const int maxn=25;
int n,U;
ll dp[maxn][maxn];
char c[maxn];


int main(){
      while(~scanf("%s",c+1)){
        n=strlen(c+1);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0][0]=1;
        int cnt_minus=0,cnt_plus=0;
        for(int t=1;t<=n;++t){
          if(c[t]=='-') {
            for(int i=0;i<=cnt_plus;++i)
                  dp[t][i]=dp[t-1][i+1]*(t-1-(cnt_plus-(i+1))-cnt_minus)*(i+1ll)*(i+1<=cnt_plus)+dp[t-1][i]*(t-1-(cnt_plus-i)-cnt_minus);
            ++cnt_minus;
          }
          else {
            for(int i=0;i<=cnt_plus+1;++i){
                  if(i) dp[t][i]+=dp[t-1][i-1];
                  dp[t][i]+=dp[t-1][i]*i;
            }
            ++cnt_plus;
          }
        }
        printf("%lld\n",dp[n][0]);
      }
      return 0;
}