You Are Given Some Letters...(CodeForces-1202F)(数论分块,思维题)

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题目

CF

注意最后一个周期可以不是满的，其实说最小有点不严谨
$1\le a,b\le 10^9$

思路

首先我们思考一个比较暴力的做法，枚举周期 $k$ ，我们记 $a+b=n$
我们假设一个周期内 $A$ 的数量为 $x$ ， $B$ 的数量为 $y$，我们可以得到：
$\begin{cases} 0\le a-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor*x\le x\\ 0\le b-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor*y\le y \end{cases}$
我们可以得到
$\begin{cases} \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\le x\le \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\\ \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\le y\le \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor} \end{cases}$
因为 $x,y$ 均为整数，我们又可以写为：
$\begin{cases} \lceil\frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\rceil\le x\le \lfloor\frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\rfloor\\ \lceil\frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\rceil\le y\le \lfloor\frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\rfloor \end{cases}$
看到这个我们就想到了数论分块，因为 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 最多只有 $2\sqrt n$ 个取值，枚举 $t=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 得到 $k$ 的取值 $[l,r]$
我们可以得到:
$\begin{cases} \lceil\frac{a}{t+1}\rceil\le x\le \lfloor\frac{a}{t}\rfloor\\ \lceil\frac{b}{t+1}\rceil\le y\le \lfloor\frac{b}{t}\rfloor \end{cases}$
$\begin{cases} x\in[\lceil\frac{a}{t+1}\rceil, \lfloor\frac{a}{t}\rfloor]\\ y\in[\lceil\frac{b}{t+1}\rceil, \lfloor\frac{b}{t}\rfloor] \end{cases}$
此时 $x+y=k$ 且 $k\in[l,r]$
于是 $k\in[\lceil\frac{a}{t+1}\rceil+\lceil\frac{b}{t+1}\rceil,\lfloor\frac{a}{t}\rfloor+\lfloor\frac{b}{t}\rfloor]$
于是满足区间合法的情况下求交即是对答案的贡献
注意数论分块写法

代码

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int read(){
    int f=1,x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
#define MAXN 1000000000
#define INF 0x3f3f3f3f
int main(){
	int a=read(),b=read(),n=a+b,ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		int t=n/l,al=(a+t)/(1+t),ar=a/t,bl=(b+t)/(1+t),br=b/t;
		if(al<=ar&&bl<=br) ans+=max(0,min(r,ar+br)-max(l,al+bl)+1);
	}
	printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

后记