题意：给定一个数组代表一个柱状图里每根柱子的高度，每根柱子宽为1，找到柱状图中面积最大的矩形的面积。
看到这道题首先想到的是DP，用两维数组记录i~j之间的矩形面积，再遍历搜索一遍即可求得最大面积，时间复杂度为O(n2). 这样是会超时的，代码如下：
class Solution(object): def largestRectangleArea(self, heights): """ :type heights: List[int] :rtype: int """ n=len(heights) if n==0: return(0) #1) 初始化dp矩阵: dp[i][j]表示heights[i:(j+1)]之间最矮的柱子高度 dp=[[0 for j in range(n)] for i in range(n)] #2) 处理边界情况 for i in range(n): dp[i][i]=heights[i] if i<n-1: dp[i][i+1]=min(heights[i],heights[i+1]) #3) 建立递推关系：注意是从diag向右斜上方递推 #dp[i][j]的值应该是dp[i+1][j-1],heights[i]和heights[j]三者的最小值 for j in range(2,n): for i in range(n-j): dp[i][i+j]=min(dp[i+1][i+j-1],heights[i],heights[i+j]) #4）遍历dp矩阵搜寻最大值，heights[i:(j+1)]的矩形面积为dp[i][j]*(j-i+1) ans=0 for i in range(n): for j in range(i,n): ans=max(ans,dp[i][j]*(j-i+1)) return(ans)
下面是O(n)解法，用到了单调栈（这篇结束单调栈的文章很不错：https://zhuanlan.zhihu.com/p/26465701），这里完全按照Youtube上basketwang的解法(链接)（https://www.youtube.com/watch?v=KkJrGxuQtYo）。思路是对于每根柱子idx，找到包含它所有部分的最大矩形(idx)，那么所求的柱状图的最大矩形一定等于max{最大矩形(idx)}。重点：！！！对于柱子idx，包含它所有部分的最大矩形(idx)的左右两边柱子的高度一定要大于等于柱子idx的高度！！！那么接下来的任务就是找到矩形(idx)的左右两边的柱子，矩形(i)的面积即为heights[idx]（矩形的高）乘以左右边界的距离（矩形的宽）。矩形i的左/右边界其实就是heights向量里idx前/后第一个比heights[idx]小的后(left)/前(right)一位数，如下图所示：
| 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||
| ... |
|
1 | ... | 1 | ... | 1 | ... | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| left | left+1 | idx | right-1 | right |
如果我们用单调递增栈（顾名思义，就是heights[栈顶元素]>=heights[栈底元素]）,
1）建立单调递增栈：如果heights[栈顶元素+1]>=heights[栈顶元素]，我们就把(栈顶元素+1) push进栈，以此来维护单调递增性；
2）寻找left和right指针：当我们遇到heights[栈顶元素+1]<heights[栈顶元素]时，那么我们就找到right指针。那left指针在哪里呢？记住，我们的栈是单调递增栈，也就是heights[栈顶元素]>=heights[栈顶前任一元素]，所以left即为栈顶前一元素（注意这里可能有重复数字的情况，可以用一个while循环跳过重复数字，见代码）；
3）计算当前栈顶元素的最大矩形面积：矩形(栈顶元素)的面积=heights[栈顶元素]*[right-(left+1)]；
4）计算下一个栈顶元素的最大矩形面积：此时矩形(栈顶元素)的面积已经计算好了，接下来把它pop出来，计算下一个栈顶元素的最大矩形面积，这时候right指针不要移动，因为它依然有可能是最大矩形的右边界；
5）最后处理剩余部分：当heights的所有元素都进过栈（有些有可能已经出栈）之后，栈还不为空的话，那么剩下的元素的最大矩形的右边应该是mystack[-1]+1,左边依然是它的前一元素
class Solution(object): def largestRectangleArea(self, heights): """ :type heights: List[int] :rtype: int """ n=len(heights) #判断极端值 if n==0: return(0) #初始化单调栈、右指针、最后需要返回的答案 mystack=[] right,ans=0,0 #进入循环 while right<n:#右指针不能超过heights的长度 #维护单调递增性 if len(mystack)==0 or heights[right]>=heights[mystack[-1]]: mystack.append(right) right+=1 #寻找left、right指针 else: #进入else的时候，我们已经找到了right指针的位置，因为这时候heights[right]<heights[mystack[-1]] #pop出栈顶元素并记录，用于之后计算面积 idx=mystack.pop() #当有重复数字的时候，我们可以跳过之前的重复数字，因为这些坐标对应的最大矩形是一样的 while len(mystack)>0 and heights[idx]==heights[mystack[-1]]: mystack.pop() #当栈不为空的时候，left为当前栈的栈顶元素，也是idx没有pop出来之前，栈顶前一元素 #当栈为空时，heights左边没有比heights[idx]更小的数，由于left为矩形左边界的前一位，所以应该是-1 #为什么当栈为空时要单独讨论？因为我们的栈里所有元素都大于0 #是不是初始化栈的时候把-1放入栈，这里就可以不单独讨论？不是！一来下一次矩形的高度会取到heights[-1]，这是不对的高度；二来下一次栈依然为空，left取不到mystack[-1]会报错 left=-1 if len(mystack)==0 else mystack[-1] ans=max(ans,heights[idx]*(right-left-1)) #注意此处没有更新right #如果栈为空，那么所以元素已经处理完，返回结果 if len(mystack)==0: return(ans) #否则，这时候栈是单调的，所有剩下矩形的右边界应该是栈顶元素+1 right=mystack[-1]+1 while mystack: idx=mystack.pop() left=-1 if len(mystack)==0 else mystack[-1] ans=max(ans,heights[idx]*(right-left-1)) return(ans)