[BZOJ3714] Kuglarz

问题描述

魔术师的桌子上有n个杯子排成一行，编号为1,2,…,n，其中某些杯子底下藏有一个小球，如果你准确地猜出是哪些杯子，你就可以获得奖品。花费c_ij元，魔术师就会告诉你杯子i,i+1,…,j底下藏有球的总数的奇偶性。
采取最优的询问策略，你至少需要花费多少元，才能保证猜出哪些杯子底下藏着球？

输入格式

第一行一个整数n(1<=n<=2000)。
第i+1行(1<=i<=n)有n+1-i个整数，表示每一种询问所需的花费。其中c_ij（对区间[i,j]进行询问的费用，1<=i<=j<=n,1<=c_ij<=10^9）为第i+1行第j+1-i个数。

输出格式

输出一个整数，表示最少花费。

样例输入

5
1 2 3 4 5
4 3 2 1
3 4 5
2 1
5

样例输出

5

解析

区间问题常和前缀和有关。我们知道了区间\([i,j]\)里数的和的奇偶，也就知道了前缀和中\(sum[j]-sum[i-1]\)的奇偶。

我们的目标是知道每一个数，而每一个数只有可能是0和1，所以如果我们知道前缀和数组的奇偶，也是可以推出每一个数是多少的。而如果我们知道了\(sum[j]\)或\(sum[i-1]\)其中一个的奇偶，再询问区间\([i,j]\)的情况，也就知道另一个的奇偶了。而\(sum[0]=0\)是我们的已知条件。

由此我们可以把前缀和数组的每一位当做一个点，对于区间\([i,j]\)我们将\(i-1\)号点和\(j\)号点连权值为花费的无向边，代表如果我们知道一个可以花费这么多知道另外一个。最后我们的目标是从0出发能达到其他所有点，那么求最小生成树即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
#define N 2002
using namespace std;
struct edge{
    int u,v,w;
}e[N*N];
int n,m,i,j,fa[N];
int read()
{
    char c=getchar();
    int w=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c<='9'&&c>='0'){
        w=w*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return w;
}
int my_comp(const edge &x,const edge &y)
{
    return x.w<y.w;
}
int find(int x)
{
    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int Kruskal()
{
    sort(e+1,e+m+1,my_comp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    int cnt=n+1,ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(cnt==1) break;
        int f1=find(e[i].u),f2=find(e[i].v);
        if(f1!=f2){
            fa[f1]=f2;
            cnt--;
            ans+=e[i].w;
        }
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=i;j<=n;j++){
            int x=read();
            e[++m]=(edge){i-1,j,x};
        }
    }
    printf("%lld\n",Kruskal());
    return 0;
}