题解 AT987 高桥君

题意

$T$个询问，每次询问给出$n,k$，你需要回答

数据范围：$1le Tle 100000, 0le n,kle 100000$

莫队

这题需要用普通莫队算法。

我们将每个询问$(n,k)$离线存下来，并用莫队处理区间问题的方法将其分块后排序。（$n$当做左端点，$k$当做右端点）

我们知道要想用莫队算法，就需要知道$(n,k)$的答案和$(n,k+1),(n,k-1),(n-1,k),(n+1,k)$这四种询问的答案的联系。也就是说当前指针指向$(n,k)$时，我们需要$O(1)$地算出上述询问的答案。

组合数

先找$(n,k)$的答案和$(n,k+1),(n,k-1)$的答案的关系。

很容易就能发现：

然后我们来找$(n,k)$和$(n-1,k),(n+1,k)$的关系，注意到有这个等式：

所以我们可以这么推：

然后反过来推出

综上所述：

注意到我们在转移时需要以$O(1)$的复杂度求出单个组合数，因为

所以预处理1-100000中每个数的逆元，以及阶乘的逆元，就能做到。

代码


#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MOD 1000000007ll
#define MAXN 200005
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define min(a, b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))
#define max(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))

ll ()
{
    char c = getchar();
    ll ret = 0;
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + c - '0', c = getchar();
    return ret;
}

int N;
ll blocklen, pn = 1, pk = 0, anst = 1, inv[MAXN], mul[MAXN], mulinv[MAXN], ans[MAXN], inv2 = (MOD + 1) >> 1; 
struct query
{
    ll n, k, id, block;
} Q[MAXN];
bool cmp(query q1, query q2)
{
    if (q1.block != q2.block) return q1.block < q2.block;
    else return q1.k < q2.k;
}
ll ask(ll n, ll m)
{
    return ((mul[n] * mulinv[m]) % MOD * mulinv[n - m]) % MOD;
} //ask(n,m)询问C_n^m mod 10^9+7
void move(int t)
{
    switch(t)
    {
        case 1: anst = ((anst + ask(pn, pk + 1)) % MOD + MOD) % MOD, ++pk; break;
        case 2: anst = ((anst - ask(pn, pk)) % MOD + MOD) % MOD, --pk; break;
        case 3: anst = (((2 * anst) % MOD - ask(pn, pk)) % MOD + MOD) % MOD, ++pn; break;
        case 4: anst = ((inv2 * ((anst + ask(pn - 1, pk)) % MOD)) % MOD + MOD) % MOD, --pn; break;
    } //1为从(n,k)到(n,k+1)，2为到(n,k-1)，3为到(n+1,k)，4为到(n-1,k)
}

int main()
{
    N = read(), blocklen = sqrt(N);
    int i;
    inv[1] = 1, mul[0] = mulinv[0] = 1;
    for (i = 2; i <= 100000; ++i) inv[i] = ((MOD - MOD / i) * inv[MOD % i]) % MOD, mul[i] = (mul[i - 1] * (ll)i) % MOD; //线性求逆元
    for (i = 1; i <= 100000; ++i) mul[i] = (mul[i - 1] * i) % MOD, mulinv[i] = (mulinv[i - 1] * inv[i]) % MOD;
    for (i = 1; i <= N; ++i) Q[i].n = read(), Q[i].k = read(), Q[i].id = i, Q[i].block = Q[i].n / blocklen;
    sort(Q + 1, Q + N + 1, cmp);
    for (i = 1; i <= N; ++i)
    {
        while (pn < Q[i].n) move(3);
		while (pn > Q[i].n) move(4);
        while (pk < Q[i].k) move(1);
		while (pk > Q[i].k) move(2); //莫队板子
        ans[Q[i].id] = anst;
    }
    for (i = 1; i <= N; ++i) printf("%lldn", ans[i]);
    return 0;
}

原文:大专栏题解 AT987 高桥君

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组合数

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