题目
【题目描述】
策策同学特别喜欢逛公园。 公园可以看成一张$N$个点$M$条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中$1$号点是公园的入口，$N$号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。
策策每天都会去逛公园，他总是从$1$号点进去，从$N$号点出来。
策策喜欢新鲜的事物，他不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，他不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果$1$号点到$N$号点的最短路长为$d$，那么策策只会喜欢长度不超过$d+K$的路线。
策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮他吗？
为避免输出过大，答案对$P$取模。
如果有无穷多条合法的路线，请输出$-1$。
【输入格式】
第一行包含一个整数$T$, 代表数据组数。
接下来$T$组数据，对于每组数据：
第一行包含四个整数$N,M,K,P$， 每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来$M$行，每行三个整数$a_i,b_i,c_i$， 代表编号为$a_i,b_i$的点之间有一条权值为$c_i$的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。
【输出格式】
输出文件包含$T$行，每行一个整数代表答案。
【样例】
样例输入
2 5 7 2 10 1 2 1 2 4 0 4 5 2 2 3 2 3 4 1 3 5 2 1 5 3 2 2 0 10 1 2 0 2 1 0
样例输出
3 -1
【样例解释】
对于第一组数据，最短路为$3$。
$1-5,1-2-4-5,1-2-3-5$为$3$条合法路径。
【数据范围与提示】
对于不同测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下
题解
【做题经历】
刚开始想的是一遍$dij$跑出最短路，然后对于每一条在最短路上的点，用其他的一些边来替换。
后来发现时间复杂度有点不可靠，大概是在$O(NM)$的范围左右。
【正解】
一道最短路+$DP$题。
先设最短路长度为$d$。
那么我们要求的就是长度在$d+K$以内的路径的数量。
首先，如果我们要把每一条路都求出来，那么这是一定不可行的，因为这道题的数据范围比较大。
那么我们应该怎么做这道题呢？
其实与我在做题的时候思路是比较靠近的，但是我想到的是将每一条边进行替换，却没有想到直接进行距离的计算。
我们先将输出$-1$的情况解决了。
其实很简单，就是在某一条合法路径上，有一个$0$环（就是一个环上所有的边权值都为$0$），那么就输出$-1$。
这个情况很简单，难点还是在计算总路径数上。
首先建一个逆图，从终点开始跑一边$dij$，得到每个点$u$到终点的最短距离$dis[u]$。
- 如果$dis[u]+w=dis[v]$，说明$edge[i]$是存在于最短路径上的。
- 如果$dis[u]+w≠dis[v]$，说明$edge[i]$是不存在于最短路径之上的，这个时候我们就要开始考虑替换，考虑有无其他情况。
现在开始处理第二种情况，如果$dis[u]+w-dis[v]≤K$，说明将从点$u$到点$v$的最短路径直接替换为$edge[i]$是合法的，因为这条新的路径与最短路的差即为从$u$到$v$的最短路径的差，而我们又保证了这个差$x$是小于等于$K$的。
当然，如果$dis[u]+w-dis[v]>K$，说明替换后的路径是不合法的，不用管即可。
但是如果我们将每次都存下来再计数，实际上是很费时间的，这个时候我们就要考虑记忆化（或者说是$DP$）。
令$dp[u][k]$：搜索到点$u$的一条路径上，其长度与路径长度上界（即$d+K$）的差值为$k$时，总路径的长度。
最后再整合一下代码即可。
顺带提一句，注意每组数据的初始化。不然你就$WA$穿地球了
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<class T>inline void qread(T& x){ char c;bool f=false;x=0; while((c=getchar())<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=true; for(x=(c^48);'0'<=(c=getchar())&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48)); if(f)x=-x; } template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);} inline int rqread(){ char c;bool f=false;int x=0; while((c=getchar())<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=true; for(x=(c^48);'0'<=(c=getchar())&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48)); return f?-x:x; } template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;} template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;} template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;} const int MAXM=200000; const int MAXN=100000; const int MAXK=50; class gragh{ #define EDGE_SIZE 200000 #define NODE_SIZE 100000 public: struct edge{int to,nxt,w; edge(){} edge(const int T,const int N,const int W):to(T),nxt(N),w(W){} }e[EDGE_SIZE+5]; int tail[NODE_SIZE+5],ind; inline void add_edge(const int u,const int to,const int w){e[++ind]=edge(to,tail[u],w);tail[u]=ind;} inline void dijkstra(int dis[],const int s,const int N){ struct node{int u,w; node(){} node(const int U,const int W):u(U),w(W){} }; struct cmp{ bool operator()(const node a,const node b){return !(a.w<b.w);} }; for(int i=1;i<=N;++i)dis[i]=0x3f3f3f3f; priority_queue<node,vector<node>,cmp>Q; Q.push(node(s,dis[s]=0)); while(!Q.empty()){ int u=Q.top().u;Q.pop(); for(int i=tail[u],v;i;i=e[i].nxt)if(dis[v=e[i].to]>dis[u]+e[i].w) Q.push(node(v,(dis[v]=dis[u]+e[i].w))); } } inline void clr(){memset(tail,ind=0,sizeof tail);} gragh(){clr();} }G,rG; int T,N,M,K,P,a,b,c; int dis[MAXN+5],dp[MAXN+5][MAXK+5]; bool in[MAXN+5][MAXK+5]; int dfs(const int u,const int k){ if(in[u][k])return -1; if(dp[u][k])return dp[u][k]; in[u][k]=true;dp[u][k]=(u==N)?1:0; for(int i=G.tail[u],v,w,tmp;i;i=G.e[i].nxt)if((tmp=dis[v=G.e[i].to]-dis[u]+G.e[i].w)<=k){ if((w=dfs(v,k-tmp))==-1)return dp[u][k]=-1; (dp[u][k]+=w)%=P; } return in[u][k]=false,dp[u][k]; } void init(){ memset(dp,0,sizeof dp); memset(in,false,sizeof in); G.clr(),rG.clr(); } signed main(){ qread(T); while(T--){ init(); qread(N,M,K,P); while(M--)qread(a,b,c),G.add_edge(a,b,c),rG.add_edge(b,a,c); rG.dijkstra(dis,N,N); printf("%d\n",dfs(1,K)); } return 0; }