https://www.zybuluo.com/ysner/note/1330542
题面
无人不知，无人不晓。
解析
这绝对是\(noip2017\)得分最难的题目。
\(30pts\)算法
最短路计数？跑\(Dijstra\)的同时，顺便\(DP\)算下方案数就好。
于是设\(f[i]\)表示由\(1\)到\(i\)点的方案数。
#define pi pair<int,int>
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> >Q;
il void Dijstra()
{
fp(i,1,n) dis[i]=1e9,vis[i]=0;
dis[1]=0;Q.push(mk(0,1));
while(!Q.empty())
{
re int u=Q.top().se;Q.pop();
vis[u]=1;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
{
dis[v]=dis[u]+e[i].w;f[v]=f[u];
Q.push(mk(dis[v],v));
}
else if(dis[v]==dis[u]+e[i].w) (f[v]+=f[u])%=mod;
}
while(!Q.empty()&&vis[Q.top().se]) Q.pop();
}
}\(70pts\)算法
考虑到\(k\)很小，可以把\(k\)加入状态。
于是设\(dp[j][i]\)表示到达\(i\)点，路径长度比最短路长\(j\)的方案数。
看这个状态就知道我们要预处理最短路。
状态都会设，正确转移估计没多少人会了
显然转移式为
\[dp[j][u]=\sum dp[dis_u+j-e[i].w-dis_v][v]\]
但是题目背景是张图，\(DP\)时是要考虑转移顺序的。
由于在转移过程中，\(j\)这一维一定是单调不降的，那么肯定是由\(j\)小的状态往\(j\)大的状态转移。
但是这样还不止，你会发现只这么写会过不了某个样例。。。而且这个样例的\(k=0\)。。。
注意到\(j\)相等的转移（在最短路上的转移）是有锅的。
其实这一类型的转移，我们都是由\(dis\)值小的转移到\(dis\)值大的，这一点看看\(30pts\)最短路计数的转移就应该明白。
那么这里也一样，给所有点依\(dis\)排个序，这就是转移的拓扑序。
然后像拓扑排序那样转移就行，由一个节点向与其相连的多个结点转移。
于是就有\(70pts\)了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define pi pair<int,int>
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;++i)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int N=1e5+100;
int f[55][N],n,m,k,mod,h[N],cnt,dis[N],ans,sta[N];
bool vis[N];
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N<<1];
il void add(re int u,re int v,re int w){e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
il int gi()
{
re int x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il void Dijstra()
{
priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> >Q;
fp(i,1,n) dis[i]=1e9,vis[i]=0;
dis[1]=0;Q.push(mk(0,1));
while(!Q.empty())
{
re int u=Q.top().se;Q.pop();
vis[u]=1;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
{
dis[v]=dis[u]+e[i].w;
Q.push(mk(dis[v],v));
}
}
while(!Q.empty()&&vis[Q.top().se]) Q.pop();
}
}
il void Dp()
{
fp(j,0,k)
fp(o,1,n)
{
re int u=sta[o];
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(dis[u]+j-dis[v]+e[i].w>=0&&dis[u]+j-dis[v]+e[i].w<=k)
(f[dis[u]+j-dis[v]+e[i].w][v]+=f[j][u])%=mod;
}
}
}
il bool cmp(re int x,re int y){return dis[x]<dis[y];}
int main()
{
re int T=gi();
while(T--)
{
memset(h,-1,sizeof(h));memset(f,0,sizeof(f));cnt=0;ans=0;
n=gi();m=gi();k=gi();mod=gi();
fp(i,1,m)
{
re int u=gi(),v=gi(),w=gi();
add(u,v,w);
}
Dijstra();
fp(i,1,n) sta[i]=i;sort(sta+1,sta+1+n,cmp);
f[0][1]=1;
Dp();
fp(i,0,k) (ans+=f[i][n])%=mod;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}\(100pts\)算法
有\(0\)边时转移又锅了。
因为会有\(dis\)和\(j\)同时相等的点，它们谁先转移，谁后转移需要进一步确定。
仔细想想，发现按拓扑序转移就行了，毕竟只有这样才满足无后效性。
那就进行一遍拓扑排序（只有\(0\)边提供入度，因为针对\(dis\)和\(j\)同时相等的点）。
如果跑完后还有点没进拓扑序，说明有\(0\)环。
如果有合法路线经过\(0\)环，就可以\(puts("-1")\)了（但实际上GGF的数据中，只要有零环就可以puts）。
然后再两重标准给点排序，再照搬\(70pts\)转移即可。
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define pi pair<int,int>
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;++i)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int N=1e5+100;
int f[55][N],n,m,k,mod,h[N],cnt,dis[N],ans,sta[N],d[N],seq[N],top;
bool vis[N],lab[N];
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N<<1];
il void add(re int u,re int v,re int w){e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
il int gi()
{
re int x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il void Dijstra()
{
priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> >Q;
fp(i,1,n) dis[i]=1e9,vis[i]=0;
dis[1]=0;Q.push(mk(0,1));
while(!Q.empty())
{
re int u=Q.top().se;Q.pop();
vis[u]=1;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
{
dis[v]=dis[u]+e[i].w;
Q.push(mk(dis[v],v));
}
}
while(!Q.empty()&&vis[Q.top().se]) Q.pop();
}
}
il void Dp()
{
fp(j,0,k)
fp(o,1,n)
{
re int u=sta[o];
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(dis[u]+j-dis[v]+e[i].w>=0&&dis[u]+j-dis[v]+e[i].w<=k)
(f[dis[u]+j-dis[v]+e[i].w][v]+=f[j][u])%=mod;
}
}
}
il int Toposort()
{
queue<int>Q;
fp(i,1,n) if(!d[i]) Q.push(i);
while(!Q.empty())
{
re int u=Q.front();Q.pop();seq[u]=++top;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
if(!e[i].w)
{
re int v=e[i].to;
if(!--d[v]) Q.push(v);
}
}
fp(i,1,n) if(d[i]) return 0;
return 1;
}
il bool cmp(re int x,re int y){return dis[x]<dis[y]||(dis[x]==dis[y]&&seq[x]<seq[y]);}
int main()
{
re int T=gi();
while(T--)
{
memset(h,-1,sizeof(h));memset(f,0,sizeof(f));memset(d,0,sizeof(d));
cnt=0;ans=0;top=0;
n=gi();m=gi();k=gi();mod=gi();
fp(i,1,m)
{
re int u=gi(),v=gi(),w=gi();
add(u,v,w);if(!w) ++d[v];
}
if(!Toposort()) {puts("-1");continue;}
Dijstra();
fp(i,1,n) sta[i]=i;sort(sta+1,sta+1+n,cmp);
f[0][1]=1;
Dp();
fp(i,0,k) (ans+=f[i][n])%=mod;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}